Билет 1. Определипорядков. Основные свойства определителей.
Ответ: 2 порядка имеют 2 строчки, 2 столбца. Числа а1, а2, b1,b2 (действительные или комплексные). Они определяют число
а1 в2- а2 в1, кот. называются определителем или детерминантом 2 порядка. Числа а1,2 и в1,2 элементы определителя. Различают строки и столбцы.
а1 а2
в1 в2
Свойства:
1. Величина определителя:
а) не меняется ,если у него заменить строки соответствующими столбцами.
а1 а2 а1 в1
в1 в2 а2 в2
б) меняет знак, если у него переменить местами строки (столбцы)
в) умножается на число К (действительное или комплексное), если элементы какого-либо его столбца или строки умножить на К, т. е. общий множитель, присутствующий в строке или столбце, можно выносить за знак определителя.
г) равен нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки =0.
д) равна нулю, если элементы 2 строк или столбцов соответственно равны.
е) не изменится, если к элементам некот. столбца (строки) прибавить элементы другого столбца (строки) предварительно умножив их на один и тот же множитель.
В определители 3 порядка различают 3 строки и 3 столбца. Различают главную диагональ и побочную. аkl K - указатель номера строк, L - столбцы. Свойства сохраняются.
2. Миноры и алгебраическое дополнение. Разложение определителя по строке (столбцу).
Минором какого-либо элемента назыв. определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраич. дополнение элемента назыв. его минор, взятый со своим или противоположным знаком, согласно следующ. правилу: если сумма номеров столбца и строки, на пересечении кот. стоит элемент, есть число четное, то минор берется со своим знаком, если нечетное - то с противоположным.
Теорема: Определитель 3 порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраическое дополнение.
Теорема: Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) опред. на алгебр. доп. эл-тов другой строки (столбца) = 0.
3. Система n-линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера.
Определенная-однорешение, неопределенная-более одного
Для совместности системы нужно и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу ее расширенной матрицы
a11 a12 a13 .....an
a21 a22 a23 .....an
a31 a32 a33 .....an
a41 a42 a43 .....an
Остается в силе миноры и алгебр. доп. и обе теоремы об алгебр. доп.
Аik = (-1)i+k Мik
Формула Крамера.
Если определитель не равен 0, то система имеет единственное решение.
Х1= ∆.1 Х2 = ∆.2
∆ ∆.
где определитель 1,2...., получаемый из опред., если в нем заменить числа I-го столбца свободными членами.
Если определитель равен 0, то система либо несовместная либо неопределена (имеет бесконечное множество решений)
4. Метод Гаусса решения системы линейных алгебраич. ур-ий.
Число решений системы.
Метод заключается в последовательном исключении неизвестных.
1. Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система уравнений приведется к треугольной, в кот. последнее уравнение содержит одно неизвестное.
2. В случае неопред. системы, т. е. такой, в кот. число неизвестных больше числа линейно независимых уравнений, допускающей поэтому бесчисленное множество решений, треугольной системы не получится, т. к. последнее уравнение содержит более одного неизвестного.
Решается путем выражения, скажем x через y и z, затем подставить.
3. Если же система уравнений несовместна, то после приведения к ступенчатому виду она содержит хотя бы одно ур-ие вида 0=1, т. е уравнение, в кот. все неизвестные имеют нулевые коэффициенты, а правая часть отлична от нуля. Такая система не имеет решений.
9. Геометрические вектора. Линейные действия над векторами. свойства.
Вектором назыв. направленный отрезок.
Вектор характериз.:
а) начальной точкой б направлением)
в) длиной (модуль вектор)
Нулевой вектор назыв. вектор, начало и конец которого совпадают.
Вектор лежащий на параллельных прямых назыв. коллинеарным.
Свойства
1. Переместительный а + в = в + а
2. Сочетательный (а+в) +с = а+(в+с)
Свойство произведения вектора на число.
1. х(ya) = (xy)a
2. (-x)a = -(xa)
3. (x+y)a = xa+ya
4. x(a+b)=xa+xb где а и в - векторы, x, y числа.
5. xa=0, если x=0 a=0
Модуль вектора а определяется по формуле:
___________
а= Öаx2 + аy2 + аz2
5. Однородная система линейных алгебраич. ур-ний. Критерий существования ненулевых решений.
Если система однородная, и ее определитель отличен от нуля (не равен нулю, ¹0), то она имеет единственное решение:
а1 х+в1 y+с1 z=0
a2 x+b2 y+c2 z=0 x=0, y=0, z=0
a3 x+b3 y+c3 z=0
Если же определитель однородной системы равен нулю, то система сводится либо к двум независимым уравнениям (3 их следствие), либо к одному уравнению (остальные 2 явл. их следствием).
(в последней строке всего один нейзвестный с коэффициентом)
Первый случай имеет место тогда, когда среди миноров определителя однородной системы есть хотя бы один отличный от нуля, второй - тогда, когда все миноры этого определителя=0.
Линейное уравнение называется однородным, если свободные члены=0.
Если а 1= b 1 = c 1 , то система сводится к одному ур-ию (напр.,
а 2 b2 c2
первому), из кот. одно из неизвестных выражается через 2 других, знач. кот. остаются произвольными.
Если же это условие не выполнено, то решение системы наход. по фор-лам:
Х= b1 c1 Y= - a1 c1 Z= a1 b1
* t, * t * t
b2 c2 a2 c2 a2 b2
из уравнений: a1 x+b1 y+c1 z=0
a2 x+b2 y+c2 z=0
Если однородная система удовлетворяется ненулевым вектором, т. е. вектором, имеющим хотя бы одну компоненту
xi ¹ 0 - нетривиальное решение однородной системы.
А нулевой вектор назыв. тривиальным решением однородной системы.
6. Прямая на плоскости. Различные виды ур-ний прямой.
Угловым коэффициентом прямой назыв. тангенс угла, образованного ею с положит. направлением оси Оx прямоугольной декартовой системы координат (положительные углы отсчитываются “против часовой стрелки” от оси Оx до прямой).
Урав-ие прямой с угловым коэффициентом.
Y=kx+b, где b-отрезок, отсекаемый ею на оси Oy.
Уравнение Ax+By+C=0, где А2 +В2 ¹ 0 - общее уравнение прямой.
1. Ax+By=0 (C=0) - прямая, проход. через нач. коорд.
2. Ax+C=0 или x=a, где а = - С ( В=0, А ¹ 0) прям. параллельна Оy А
3. Ах=0 или х=0 (В=0, С=0) - ось Oy
4. By+C=0 или y=b, где в= - C (А=0, В ¹ 0) паралл. Ох
B
=0 или y=0 (А=0,С=0) ось Ox.
Уравнение прямой в отрезках. x + y = 1, где а и в - длины
a b
отсекаемых на осях координат, взятые с соответств. знаком.
Если а и в отриц., то это значит, что прямые пересекают отриц. полуось.
Если прямые не параллельные оси Оy, т. е. (В ¹ 0), то ее общее уравнение, разрешая относительно y, можно привести к уравнению с угловым коэффициентом
y=kx+b, где k= - A , в = - C
B B
Если прямая не проходит через начало координат (т. е С ¹ 0) и не параллельна ни одной из коорд. осей, то ее общ. уравнение путем деления на - С можно привести к уравнению в отрезках:
Аx + By = 1, х + y = 1, где а = - С , в = - С
-C -C а b А В
7. Взаимное расположение 2 прямых на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние между параллельными прямыми.
Угол: Тангенс угла между 2 прямыми (y=k1 x+b1, y=k2 x + b2) определяется по формуле:
tg = k2 - k1 условие || : k1 = k2
1+k1 k2
условие ^. k1 k2 = -1
Если А1 х+В1 y+С1=0
А2 х+В2 y+С2=0
Условие параллельности А1 = В1 , перпендикул. А1 А2+В1 В2=0
А2 В2
При А1 не равному В1 имеется единственная точка пересеч.
А2 В2
при А1 = В1 не равному С1 не имеется точка пересеч. (они паралл.)
А2 В2 С2
при А1 = В1 = С1 беск. множ. общих точек (они совпадают)
А2 В2 С2
Cos = N1 N2 = AA+BB
_________ _________
|N1| |N2| ÖA12 + B12 * ÖA22 + B22 (Если отриц - p - j)
8. Кривые второго порядка, их каноническое уравнение и построение.
Линия называется линией (кривой) второго порядка если она определяется уравнением второй степени относительно текущих координат x и y, т. е. уравнением вида:
Ax2 + 2Bxy + C y2 + 2Dx + 2Ey+F = 0
1. Окружность - множество точек плоскости, равноудаленных от центра.
х2 + y2 = r2
2. Эллипс - множество точек плоскости, сумма расстояний которых до 2 данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обознач. через 2а), причем эта постоянная больше расстояния между фокусами.
х2 + y2 = 1 (a b - полуоси) а2=с2+в2 F(c,0) F1(-c,0)
а2 b2
3. Гипербола - множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, ее обознач. (2а), причем эта постоянная меньше расстоян. между фокусами
х2 - y2 = 1 (a £ b - полуоси)
а2 b2
4. Парабола - множество точек плоскости, равноудаленной от данной точки, назыв. фокусом, и данной прямой, назыв. директрисой. P - расстояние между фокусом и линией.
Y2 = 2px, либо X2 = 2py
9. Геометрические вектора. Линейные действия над векторами. свойства.
Ответ:
Вектором назыв. направленный отрезок.
Вектор характериз.:
а) начальной точкой
б) направлением
в) длиной (модуль вектор)
Нулевой вектор назыв. вектор, начало и конец которого совпадают.
Вектор лежащий на параллельных прямых назыв. коллинеарным.
Свойства
1. Переместительный а + в = в + а
2. Сочетательный (а+в) +с = а+(в+с)
Свойство произведения вектора на число.
1. х(ya) = (xy)a
2. (-x)a = -(xa)
3. (x+y)a = xa+ya
4. x(a+b)=xa+xb где а и в - векторы, x, y числа.
5. xa=0, если x=0 a=0
Модуль вектора а определяется по формуле:
___________
а= Öаx2 + аy2 + аz2
10. Проекция вектора на ось. Теорема о проекциях.
Проекцией вектора АВ на ось Оu называется алгебраич. величина отрезка А1 В1, где А1 В1 - проекции точек АВ на данную ось (т. е длина отрезка А1 В1 взятая со знаком +, когда направление отрезка совпадает с полож. направ. оси Оu и со знаком “-” в противоположном случае).
Если j - угол между вектором а и осью Оu, то проекция вектора а на ось Оu = произведению длин вектора на Cos
Пр Оu а = |a| Cos
Теорема: нарисовать вектора, если Cos j с “-“ , топроекция тоже берется с минусом., также с суммой проекций.
11. Координаты вектора. Разложение вектора по базисным ортам.
Координатами вектора а относительно прямоугольной системы координат Оxyz называется проекции XYZ вектора а на оси координат.
Обозначаются а=/XYZ/
Если ijk - орты координатных осей Ox Oy Oz, то вектора а /XYZ/ можно представить в виде:
а=Xi+Yj+Zk
Векторы аx = xi ay = yj az = zk назыв. составляющими или компанентами вектора а=Xi+Yj+Zk
Координаты суммы векторов равны суммам соответств. координат слагаемых а1 / X1Y1 Z1 / X=X1+X2 +..........
а 2 /X2 Y2 Z2/
Координаты произведения вектора а на число X равны произведению соответствующих координат вектора а на X. (в=Xa) , где а и в - ветора, Х-число.
12. Скалярное произведение вектора. Его свойства. Вычисление длин и углов.
Скалярным произведением 2 векторов назыв. число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.
/\
ав=| a | | b | * Cos ав
Свойства:
1. а*а= а2
2. а*в = 0, если а=0, либо в=0, либо а ^ в.
3. а*в=в*а (переместит.)
4. а(в+с)=ав+ас (распред.)
5. (mа)в=а(mb) - сочет.
_________
Длина вектора d=| A1 A2 |= ÖX2+Y2+Z2
Cos = ав = XX+YY+ZZ
| a| |b| __________ __________
ÖX12+Y12+Z12 * Ö X22+Y22+Z22
13. Векторное произведение, его свойства. Вычисление площадей параллелограмма и треугольника.
S паралл. = |a| h = a b Sin S треугол. = 1 |[ав]|
2
Векторное произведение вектора а на в назыв. третий вектор с , определяемый следующим образом:
1. модуль вектора с = S параллелограмма, построенного на векторах а и в (с=ав Sin j).
2. вектор с ^ ав
3. авс после приведения к общему началу ориентированы по отношению друг к другу соответственно как орты ijk (правая тройка векторов)
веторное произведение решать по матрице с первой строкой в ijk
втрорая и третья – xyz и x1y1z1.
Свойства:
1. ва = - ав, т. е векторное произведение не обладает переместительным свойством.
2. ав=0 ,если а=0, либо в=0, либо а || в (коллинеарны)
3. (mа)в=а(mв)=m(ав) (сочетательное свойство)
4. а(в+c)=ab+ac (распределит. свойство)
14. Смешанное произведение, его свойства. Объем параллепипеда и тетраэдра.
Смешанным произведением векторов а в и с называется скалярное произведение вектора ав на вектор с, т. е. (ав)с
Решать его по матрице, где строки xyz, x1y1z1, x2y2z2
Свойства
1. смешанное произведение авс=0, когда:
а)хотя бы один из перемнож. векторов = 0
б)2 из перемножаемых вектор. коллинеарны
в)3 ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны)
2. смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного (*) и скалярного умножения(.), т. е. (а*в). с=а. (в*с)
3. смешанное произведение не изменится, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке
авс=вса=сав
4. При перестановке любых 2 вектора смеш. произвед. изменит только знак
вас=-авс; сва=-авс; асв=-авс
Условие компланарности авс=0.
V тетр= 1\6 | авс| Vпаралл = |abc|
15. Плоскость в пространстве. Теорема об общем уравнении плоскости.
А(х-х0 )+В(y-y 0)+C(z-z 0)=0 - уравнение плоскости, проход. через данную точку.
Аx+By+Cz+D=0 - общее уравнение плоскости. (АВС не равны 0)
1. Если D=0, то плоскость проход. через нач. координат.
2. вектор N(АВС) перпендикулярен плоскости.
Теорема:
Нормальное ур-е плоскости x Cos a + Y Cos b + z Cosg - p =0
a, b,g - направляющие косинусы перпендикуляра, опущенного из начало координат на данную плоскость, p – его длина.
Общее ур-е плоскости, умножением на нормирующий множитель
m = ± 1__________ знак которого противоположен знаку
Öа2 + в2 + с2 p, можно привести к нормальному виду.
Расстояние от точки до плоскости |d| = x1cosa + y1 cosb + z1 cosg - p
16. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнений плоскости.
А(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 - уравнение плоскости через данную точку.
Аx +By +Cz+D=0 - общее уравнение плоскости.
Частные случаи уравнений плоскости.
1. свободный член = 0, т. е. D=0; Аx+By+Cz (плоскость прох. через нач. коорд.)
2. один из коэффиц. при текущих координатах равен 0 и
· D не равен 0, тогда плоскость параллельна соответсвтующей координатной оси:
А=0, By+Cz+D=0 (плоскость || оси ОХ)
В=0, Аx +Cz+D=0 || ОY
С=0, Аx +Вy +D=0 || Оz
· D=0, тогда плоскость проходит через соответствующую координатную ось:
А=0, By+Cz=0 (плоскость проходит через ось Оx
В=0, Аx +Cz=0 (плоскость проходит через ось Оy)
С=0, Аx +Вy=0(плоскость прох. через ось Oz)
3. Два коэффиц. при текущих координатах равны нулю и
· D не равно 0, тогда плоскость параллельна соответ. координатной плоскости:
В=0, С=0, Ах+D=0 (плоскость параллельна плоскости Oyz)
А=0, С=0, Вy+D=0 (плоскость параллельна плоскости Oxz)
А=0, В=0, Сz+D=0 (плоскость параллельна плоскости Оxy)
· D=0, тогда плоскость совпадает с соответст. координатной плоскостью:
В=0, С=0, Аx=0 или х=0 (уравнение плоскости Оyz)
А=0, С=0, Вy=0 или y=0 (уравнение плоскости Oxz)
А=0, В=0, Сz=0, z=0 (уравнение плоскости Oxy)
Если ни одни из коэффиц. общего уравнения не равен нулю, оно может быть преобразовано к виду
x + y + z = 1, где а= - D b= - D
a b c A B
17. Взаимное расположение 2 плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между || плоскостями.
_____________
d= Ö| Ax+By+Cz+D|
A2+B2+C2
Угол Cos = А1 А2+В1 В2+С1С2
_____________ ____________
ÖА12 + В12 + С12 * Ö А22 + В22 + С22
18. Прямая в пространстве. Различные виды уравнений прямой.
Каноническое уравнение прямой.
х-х1 = y-y1 = z-z1 через М(x1,y1,z1)
t m n
x=x1+lt y=y1+mt z=z1+ nt - параметрическое.
уравнение прямой, проход. через 2 точки:
х-x1 = y-y1 = z-z1
x2 - x1 y2-y1 z2-z1
19. Взаимное расположение 2 прямых в пространстве. Угол между прямыми и расст. между параллельными прямыми.
А1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
Каноническое уравнение:
x-x0 = y-y0 = z-z0
B1 C1 A1 C1 A1 B1
B2 C2 A2 C2 A2 B2
Параметрическое
x=x0 B1 C1 y=y0 - A1 C1 z=z0 A1 B1
B2 C2 A2 C2 A2 B2
Cos = l1l2 +m1m2 + n1n2
_____________ ______________
Öl12 + m12 + n12 * Ö l22 + m2 2 + n22
20. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние между || прямой и плоскостью.
Sin = | Al+Bm+Cn|________
___________ _________
Ö A2 +B2 + C2 * Ö l2 +m2 +n2
Условие параллельности прямой и плоскости. Аl+Bm+Cn=0
21. Матрицы. Линейные действия над ними. Их свойства.
Матрицей называется система mn величин, расположенных в прямоугольной таблице из m-строк, и n-столбцов. Величины из которых составлена матрица назыв. ее элементами. Элемент матрицы, стоящий на пересечении строки с номером k и столбцов с номером l обознач. Akl
Квадратной матрицей n-го порядка назыв. матрица, имеющая n строк, и n столбцов.
Главной диагональю квадр. матрицей назыв. диагональ ее сост. из элементов A11, A22
Симметричной матрицей назыв. квадрат. матрица, у кот. элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу, т. е. Аkl=Аlk
Диагональю матрицы назыв. кв. матрица, у кот. все элементы, не находящиеся на глвной диагонали, равны 0.
Суммой матриц А и В, имеющих одинаковое число строк и столбцов назыв. третья матрица С, каждый элемент которой равен сумме соответств. эл-тов слагаемых матриц.
Произведением матрицы А на число X назыв. матрица В, кот. получается из матрицы А умножением всех ее элементов на X.
Произведением АВ двух кв. матр. одного порядка назыв. 3 кв. матрица С того же порядка, составленная по следу. правилу:
элемент Сkl, стоящ. в матрице С на пересечении k-ой строки с l - столбцом, есть сумма произведений элементов k-ой строки матрицы А на соответств. эл-ты l-го столбца матрицы В.
Осн. свойства:
1. А+В=В+А
2. А+(В+С)=(А+В)+С
3. X(А+В)=ХА+ХВ
4.(Х+Y)А=ХА+YА
5. А(ВС)=(АВ)С
6.А(В+С)=АВ+АС
22. Смотри выше.
23. Обратная Матрица. Критерий ее существования.
Существует для кв. матриц, определитель кот. не равен 0.
1. Найти определитель.
2. Алгебраическое дополнение.
3. Протранспонировать алгебраич. доп.
4. Поделить протранспонированную матрицу на определитель и получаем обратную матрицу.
24. Решение матричных уравнений вида AX=B и XA=B, где А-невырожденная матрица (ее определитель ¹ 0).
1. АХ=В 2.XA=B
(А-1 A) X=A-1B ( AA-1 )X=BA-1
EX=A-1 B EX=BA-1
X=A-1 B X=BA-1
25.
1. АХ=В 2.XA=B
(А-1 A) X=A-1B ( AA-1 )X=BA-1
EX=A-1 B EX=BA-1
X=A-1 B X=BA-1
и типовой расчет.
26. Комплексные числа. Арифметические действия с комплексными числами в алгебраич. форме.
Сложение комплексных чисел.
z1 = a1+ib1 z= a2+ib2
z1+z2=(a1+ib1)+(a2+ib2)=(a1 + a2)+i(b1 + b2)
Вычитание:
z1-z2= (a1 +ib1)-(a2 +ib2)=(a1-a2)+i(b1-b2)
______________
|z1-z2 |= Ö(a1-a2)2 +(b1-b2) 2
Умножение.
z1z2=(a1+ib1)(a2+ib2)=(a1 a2-b1b2)+i( a2 b1+a1 b2 )
Деление.
z1 = a1 +ib1 = (a1 +ib1) (a 2- ib 2) = a1 a2 +b1b2 + i a2b1 - a1 b2
z2 a 2+ ib 2 a 2+ ib 2) (a 2- ib 2) a22+ b22 a22+ b22
27. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
Тригонометрический вид: z=r(Сos j + iSin j), r называется модулем комплексного числа z, j - аргументом комплексного числа z, они обозначаются так:
r = | z |, j - argz.
Величины r и ф выражаются через a и b, очевидно так:
______
r= Öa2 +b2 j=Arctg b
a
_____
Итак, |z|=|x+iy|= Öx2+y2
argz=arg (x+iy)=Arg y
x
Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении отсчета. Очевидно, что аргумент j определяется не одназначно, а с точностью до слагаемоего 2pк, где к - любое целое число
Замечание: сопряженные комплексные числа имеют равные модули, а их аргументы равны по абсолютной величине, но отличаются знаком.
Модуль комплексного числа 0 равняется нулю 0=|0|=0. В качестве же аргумента нуля можно принять любой угол j. Действительно для любого угла j имеет место равенство:
0=0(cosj + iSinj)
Показательная форма:
z=reij
Cвойства:
eZ1+Z2 =eZ1 eZ2
eZ1-Z2 = eZ1
eZ2
(eZ) M = eZM
eZ+ 2pk = eZ
(Cos j + iSinj) = eij
28. Умножение
Z1Z2 =r1r2 (Cos(j1+j2) + iSin(j1+j2)
Произведением двух комплексных чисел, есть такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.
Деление.
z1 = r1(Cosj1+ + iSinj1 = r1 (Cos(j1 - j2) + iSin(j1 - j2)
z2 r2 (Cosj2 + iSinj2) r2
Т. е. модуль частного 2 комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, и аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя
eZ1 eZ2 = eZ1+ Z2
eZ1 = eZ1-Z2
eZ2
Формула Муавра.
zn = [r(Cosj + iSinj)]n = rn (Cos nj + iSin nj)
При возведении комплексного числа в показательную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
29.Корни n-степени из комплексного числа, изображение их на плоскости.
Корнем n-степени из комплексного числа назыв. комплексное число, n-я степень которого равняется подкоренному числу, т. е.
______________
nÖr(Cosj + iSinj) = p(CosY + iSinY )
рn (Сos nY + iSin nY) = r(Cosj + iSinj)
Так как у равных комплексных чисел модули должны быть равны, а аргументы могут отличаться на число, кратное 2p, то
рn =r, nY = j + 2pк р = nÖr, Y= j+2pк
n
_______________ __
nÖr (Cosj + iSinj) = nÖr( Cos j+2pк + iSin j+2pк)
n n
значения К 0,1,2...n-1, получаем n различных значений корня. Для других значений К аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2p. _
К-любое целое число, nÖr (действительное положительное)
30. Линейное пространство.
Если сложение элементов множества R и умножение элемента этого множеста на действительное число удовлетворяет следующим условиям:
1) x+y=y+x
2) (x+y)+z=x+(y+z)
3) cуществует такой элемент (нуль-элемент), что x+0=x для любого х (положит. R)
4) для каждого элемента х (положит. R) существует элемент y (R), такой что х+y=0 (y=-x, т. е. x+ (-X) = 0
5) 1*x=x
6) a(bx)=(ab)x
7) (a+b)x= ax+bx
8) a(x+y)=ax+ay, где а и b действительные числа
то множество R называется линейным (векторным пространством), а элементы xyz....этого пространства - элементами.
Например, множество всех геометрических векторов явл. линейным пространством, так как для элементов этого множества определены действия сложения и умножения на число, удовлетворяющие сформулированным условиям.
Справедливы также теоремы:
1. В каждом линейном простарнстве существет только один нуль-элемент.
2. Для каждого элемента линейного пространства существует только одни противоположный элемент.
3. Для каждого элемента х(R) выполняется равенство 0*х=0
4. Для любого действительного числа а и 0(R) выполняется равенство а*0=0
5. Из равенства ах=0 следует одно из двух равенств:а=0 или х=0
6. Элемент (-1)*х является противоположным для элемента х.
31. Линейно зависимые и линейно независимые векторы линейного пространства. Критерий линейно завис. 2и3 геометр. векторов.
Dx+Hy+Gz+................Tu=0
Векторы xyz....u называются линейно независимыми, если равенство выполняется лишь при D=H=G=0
Если же равенство не выполняется когда не все числа DHG=0, то говорят, что векторы xyz линейно зависимы.
Вектора xyz линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из этих векторов может быть представлен в виде линейно комбинации остальных векторов.
32. Базис и размерность линейного пространства. Теорема о единстве разложения вектора по базису.
Если в линейном пространстве R имеется n-линейно незвависимых векторов, но любые n+1 векторов этого пространства линейно зависимы, то пространство R назыв. n-мерным. d(R)=n
Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, назыв. бесконечномерным.
Совокупность n-линейно независимых векторов n-мерного линейного пространства назыв. базисом.
Теорема. Каждый вектор линейного n-мерного пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.
33. y=Ax A - линейный оператор. А может принимать любые значение, как бы как F(x), А это как бы F…
34. А(оператор) рассматривается как матрица….написать пример матрицы напр cosx 1 или числовые подставить.
1 cosy
35. Собственные векторные числа линейного оператора. Их отыскание с помощью характеристического уравнения.
Ненулевой вектор назыв. собственным вектором линейного преобразования A, если найдется такое число P, что выполняется равенство Ах=Рх, где Р-характеристическое число(собственное число) линейного преобразования A соответстствующим вектору х.
а11-λ а12 а13
а21 а22-λ а23 =0 характеристическое уравнение.
а31 а32 а33-λ
Алгебра 2003a(final version)
8. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), причем эта постоянная больше расстояний между фокусами.
Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как на рис., а фокусы эллипса находится на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках F(с;0) F(-с;0), то получится простейшее каноническое уравнение эллипса. (оно у нас есть)
Здесь а - большая, b - малая полуось эллипса, причем аb c (с-половина расстояний между фокусами) связаны соотношением а2 =b2 +с2 .
Форма эллипса, мера его сжатия характеризуется его эксцентриситетом Е=с так как (с< а, то Е< 1)
а
Расстояния между точки эллипса М от его фокусов называются фокольным радиусами-векторами этой точки. их обычно обозначают r1 r2 ( в силу определения эллипса для любой его точки r1+r2=2а)
В частном случае, когда а=b (с=0, Е=0, фокусы сливаются в одной точке - центре), эллипс превращается в окружность (с уравнением х2 +y2=а2.
Взаимное расположение точки М(х1y1) и эллипса (общ. ура-ие) определяется условиями: если х12+ y12 больше 1, то точка
а2 b2
Млежит вне эллипса, если х12 + y12 меньше 1, то точка М
а2 b2
лежит внутри эллипса.
Фокальные радиусы-векторы выражаются через абциссу точки эллипса по формулам r=а-Ех (правый фокальный радиус-вектор) и r2=а+Ех (правый фокалльный радиус-вектор)
Парабола. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Если директрисой параболы явл. прямая ==-р/2, а фокусом точка F(р/2;0) то уравнение параболы имеет вид y2 =2рх (1)
Эта парабола расположена симметрично относительно оси абцисс
уравнение x2 =2рy (2)
является уравением параболы, симметричной относительно оси ординат. При р > 0 параболы (1) и (2) обращены в положительную сторону соответсвтующей оси, а при р меньше 0 - в отрицательную сторону.
Длина фокального радиуса-вектора параболы (1) определяется по формуле:
r=х+р/2 (р > 0)
