Глава III. Бесконечные цепные дроби

Глава III. Бесконечные цепные дроби.

§ 1. Разложение действительных чисел в цепную дробь.

Определение 1. Бесконечной цепной дробью называется выражение

, (1)

где .

Определение 2. Подходящей дробью к бесконечной цепной дроби (1) называется конечная цепная дробь . (2)

Все те свойства, что мы рассматривали для подходящих дробей конечных цепных дробей, имеют место и для подходящих дробей бесконечных цепных дробей.

Определение 3. Бесконечная дробь (1) называется сходящейся цепной дробью, если существует предел ее подходящих дробей, то есть =.

Теорема 1. Любая бесконечная цепная дробь сходится.

Доказательство проводится с применением свойств подходящих дробей и леммы о вложенных промежутках.

Определение 4. Пусть . Полными частными в разложении будем называть величины определенные равенствами при , при .

Теорема 2. Пусть , - полное частное в разложении , тогда

и . (3)

Рассмотрим теперь разложение действительного числа в цепную дробь.

Определение 5. Разложением действительного числа в цепную дробь называется представление в виде , где - конечная или бесконечная последовательность целых чисел, такая, что при все , в случае конечного разложения последний элемент .

Теорема 3. Для любого действительного числа существует разложение в цепную дробь, причем такое разложение единственное.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда - иррациональное число, так как для рационального числа у нас уже было доказано. Обозначим через целую часть , а через - величину, обратную дробной части , то есть возьмем , так что . Поскольку иррационально, и также иррациональное число, причем . Находя таким же образом для числа и , и так далее, получим:

, (4)

где при все иррациональные числа и, таким образом, при всех таких числа .

Числа образуют бесконечную последовательность целых чисел и, поскольку при , мы можем взяв эти числа в качестве элементов, составить бесконечную цепную дробь , которая согласно теореме 1 сходится.

Докажем, что величина этой цепной дроби равна нашему исходному числу . Действительно, из равенств (4) получаем , так что согласно (3) имеем и

.

Поскольку , то .

Доказательство единственности разложения проводится методом от противного.

Мы видим, таки образом, что для заданного иррационального числа имеется алгоритм, позволяющий строить цепную дробь, равную .

Пример 1. Разложить в цепную дробь .

Решение. Находим: a0=1, . Поскольку , будем иметь a1=a0=1, так что и так далее, то есть

.

Пример 2. Найти значение цепной дроби .

Решение. , отсюда, получаем уравнение . Находим его корни , так как >1, то удовлетворяет условию .

§ 2. Разложение числа в цепную дробь.

Теорема 4. . (5)

Доказательство. Определим , как сумму ряда:

.

Этот ряд сходится при любых значениях ; однако мы будем рассматривать только значения , лежащие в интервале .

Легко проверить, что имеет место тождество

(6)

Действительно, коэффициент при в левой части равенства (6) равен , а в правой части равенства (6) он равен

,

так что (6) верно.

Обозначим . В частности, поскольку

, ,

то

.

Из равенства (6) при получаем

(6)

Поскольку положительно, равенство (7) показывает, что при всех , то есть и последовательность соотношений (6) при

дает разложение в цепную дробь. Что и требовалось доказать.

Теорема 5. , (8)

то есть элементы разложения в цепную дробь имеют вид:

и .

Доказательство. Обозначим подходящие дроби к правой части (8) через , а подходящие дроби к (5) через . Докажем, что

.

Принимая во внимание значение элементов цепной дроби (8), имеем:

откуда находим:

.

Аналогичное соотношение имеем и для , так что

. (9)

Докажем индукцией по , что

(10)

Из (5) и (8) непосредственно вычисляем так что соотношение (10) верно при Предположим, что соотношение (10) верно для всех R с номерами, меньшими чем n, где , то есть, в частности,

, ,

тогда, используя равенства (9), получаем:

.

Согласно принципу математической индукции равенство (10) верно для всех n.

Совершенно аналогично доказывается, что

Рассматривая теперь предел отношения величин Rn и Sn, находим:

, то есть Поскольку цепная дробь в правой части (8) сходится, мы будем иметь также, что вообще , а это доказывает теорему.

§ 3. Квадратические иррациональности.

П.1. Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби.

Во множестве иррациональных чисел наиболее простыми являются те иррациональности, которые являются корнями квадратных уравнений с целыми коэффициентами.

Определение 6. Число называется квадратической иррациональностью, если - иррациональный корень некоторого уравнения (11)

С целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю.

При таком , очевидно, будет . Коэффициенты уравнения (11), очевидно, можно взять взаимно простыми; в этом случае дискриминант этого уравнения будем называть также дискриминантом .

Корни уравнения (11) равны , так что любую квадратическую иррациональность можно представить в виде , где и целые, а - целое неквадратное число. Второй корень уравнения (11) будем называть иррациональностью, сопряженной с .

Примеры. а) - квадратическая иррациональность, так как является иррациональным корнем уравнения .

б) - квадратическая иррациональность, так как представляет собой иррациональный корень уравнения .

в) не является квадратической иррациональностью.

Определение 7.Цепная дробь называется периодической, если периодической является последовательность элементов . Если последовательность элементов чисто периодическая, то и соответствующая цепная дробь называется чисто периодической.

Длину периода последовательности элементов будем называть также длиной периода цепной дроби.

Теорема 6. Цепная дробь является периодической с длиной периода тогда и только тогда, когда при некотором имеет место равенство неполных частных .

Рассматривая величины периодических цепных дробей, мы получаем некоторую часть действительных чисел. Оказывается, и это на первый взгляд кажется неожиданным, что множество таких чисел совпадает с множеством квадратических иррациональностей. Этот замечательны результат был получен впервые в 1770 г. Лагранжем. Тот факт, что величина любой периодической цепной дроби является квадратической иррациональностью, доказывается совсем просто. Более сложно доказывается то, что любая квадратическая иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь; этот факт и называют обычно теоремой Лагранжа.

Теорема 7. Величина любой периодической цепной дроби представляет собой квадратическую иррациональность.

Доказательство. Пусть представляет собой периодическую цепную дробь, то есть существуют и такие, что . Согласно теореме 2

, ,

следовательно,

= , (12)

Равенство (12) после приведения к общему знаменателю дает квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

(13)

где . В частности, при . Доказательство того, что при проводим методом от противного.

Прежде всего отметим, что в последовательности

(14)

любые два соседних знаменателя взаимно просты. Если предположить, что A=0 при некотором , то

= .

Из равенства этих двух несократимых дробей следует , ,

А это противоречит тому, что при в последовательности (14) имеются самое большее два равных знаменателя. Иррациональность следует из того, что разложение в цепную дробь бесконечно.

Примеры. Найти значение следующих цепных дробей:

а) , б) , в)

Решение. а) = .

б) , получаем уравнение , решаем его и находим корни: , следовательно, .

В) , , находим числители и знаменатели подходящих дробей и получаем , отсюда уравнение и корень его .

Прежде чем перейти к теореме Лагранжа, докажем следующую вспомогательную теорему.

Теорема 8. Если квадратическая иррациональность представлена в виде , где все - целые, то также квадратическая иррациональность и с тем же дискриминантом, как у .

Доказательство. Пусть - корень квадратного уравнения где A, B, C – целые числа. Подставляя , получаем:

или ,

то есть представляет собой корень уравнения с целыми коэффициентами, дискриминант которого равен

,

причем .

Заменяя в предыдущем квадратном уравнении через , аналогично получаем, что - корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами и с таким же дискриминантом.

Продолжая таким же образом дальше, получим утверждение теоремы.

Теорема 8. (Лагранж). Любая квадратическая иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь.

Доказательство. Пусть - квадратическая иррациональность, то есть - иррациональное число, представляющее собой корень многочлена с целыми коэффициентами. Подставляя в

и приводя к общему знаменателю, получаем:

,

то есть выражение вида

(15)

где

- целые числа.

Согласно предыдущей теореме дискриминант уравнения (15)

, (16)

и, таким образом не меняется при увеличении .

Докажем сначала, что и при достаточно большом имеют противоположные знаки, а затем, пользуясь тождеством (16), докажем, что эти величины - ограничены.

и , как известно, находятся по разные стороны от , причем при достаточно большом сколь угодно мало отличаются от .

, но поскольку - иррациональное число, то .

Таким образом, - простой корень уравнения .

Известно, что в достаточно малой окрестности слева и справа от простого корня значения непрерывной функции, в данном случае многочлена , имеют разные знаки, то есть

при достаточно большом противоположны по знаку, причем и и, следовательно, и не равны нулю.

Таким образом, при достаточно большом произведение . Поскольку , имеем:

,

то есть величины и ограничены. Из ограниченности этих величин следует ограниченность . А поскольку они целые, то среди уравнений (15) при неограниченном увеличении существует только конечное число различных уравнений. Каждое квадратное уравнение имеет только два корня, поэтому среди корней уравнений (15) существует конечное число различных, а значит и среди величин: имеется только конечное число различных. Отсюда найдется , это означает, что разложение в цепную дробь периодическое. Что и требовалось доказать.

Пример. Разложить в цепную дробь .

Решение. Находим последовательно:

то есть . Получаем .

П.2. Чисто периодические разложения.

Поскольку мы теперь знаем, что любая квадратическая иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь, естественно выяснить, для каких квадратических иррациональностей такое разложение будет чисто периодическим. Следующая теорема дает исчерпывающий ответ на этот вопрос.

Теорема 9. Квадратическая иррациональность , где и целые, разлагается в чисто периодическую цепную дробь тогда и только тогда, когда и сопряженная иррациональность лежит в интервале .

Примеры. 1) разлагается в чисто периодическую цепную дробь, так как лежит между -1 и 0. Действительно, .

2) разлагается в смешанную периодическую цепную дробь, так как сопряженное ему число больше нуля.

Теорема 10. Пусть - неквадратное число, - целое, ; тогда разложение в цепную дробь имеет вид: .

Доказательство. Если , то число , где , будет иметь чисто периодическое разложение в цепную дробь. Действительно, и заключено в интервале между -1 и 0, , так что , отсюда следует утверждение теоремы.

Примеры. 1) .

2) .

3) .

У П Р А Ж Н Е Н И Я.

№ 1. Разложите в цепную дробь и замените подходящей дробью с точностью дл 0,001 следующие числа:

1) , 2) , 3), 4) , 5)

.

№ 2. Найдите действительные числа, которые обращаются в данные цепные дроби:

/