Восстановление треугольника

Полное название Темы работы	«Восстановление треугольника»
Название Направлений форума	Прикладная и фундаментальная математика
Тип работы	Исследовательская работа
Возрастная Номинация	9-10 класс
Фамилия имя автора	Горбачёва Анастасия
Территория	г. Красноярск
Место учебы:	МБОУ Лицей №6 «Перспектива»
Класс	9 «Е»
Место выполнения работы	МБОУ Лицей №6 «Перспектива»
Руководитель	, МБОУ Лицей №6 «Перспектива», учитель математики.
Научный руководитель	, КГПУ им. , к. п. н., доцент.
Ответственный за корректуру текста работы	, МБОУ Лицей№6 «Перспектива».
e-mail Контактный телефон	*****@***ru Тел. [phone]

Аннотация

Г. Красноярск, МБОУ Лицей №6 «Перспектива», 9 класс.

«Восстановление треугольника »

Научный руководитель: ,

КГПУ им. , к. п. н., доцент КГПУ.

Цель научной работы:

Восстановить треугольник по трем заданным точкам, про которые известно какую роль они играют в треугольнике.

Методы проведенных исследований: поиск информации в литературе, построение математической модели, выделение вспомогательной фигуры, эксперимент, анализ.

Основные результаты научного исследования:

1.  Построили математическую модель реальной ситуации.

2.  Изучили в литературе методы решения задач на построение.

3.  Выделили интересные точки в треугольнике.

4. Рассмотрены и решены 24 задач, в работе представили 16 наиболее интересных из них; получен вывод, что не всякие три точки треугольника однозначно его определяют. А, именно, из рассмотренных нами 24 ситуаций, 12 – это те, в которых по 3-м заданным точкам однозначно может быть построен треугольник.

Основное содержание.

Населенные пункты имеют как наружные, так подземные сооружения. В результате стихийных бедствий могут быть разрушены наземные сооружения и их надо восстановить в соответствии с их подземными коммуникациями по каким-то сохранившимся точкам.

Математическая модель: по некоторым точкам восстановить фигуру. Основа всех фигур – это треугольник. Возникает вопрос: как можно восстановить его ( построить его вершины) по каким-то трем точкам?

Этой проблемой мы занимаемся второй год. На первом этапе были выделены основные, интересные точки треугольника и были решены 12 задач по восстановлению треугольника по этим точкам. На втором этапе было расширено число базовых точек, по которым будет восстанавливаться треугольник. Это потребует: систематизировать знания о замечательных точках треугольника; познакомиться с различными методами решения задач на построение.

Объектом исследования являются задачи на построение.

Задачи на построение - это особый вид задач, которые при своем решении требуют интуиции, догадки, хорошего знания основных фактов геометрии, возможностей рабочих инструментов, и умения доказывать, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи. Другое важное умение – это умение исследовать ситуацию на предмет возможности ее разрешения и вариантов решения. Этим обосновывается актуальность темы выбранной нами для исследования.

Предметом исследования являются возможности восстановления объекта (треугольника) по каким-то его элементам.

Гипотеза: Так как треугольник - фигура жесткая, однозначно определяемая вершинами, то три замечательных точки так же однозначно его определят.

Цель исследования: рассмотреть всевозможные наборы из 3-х точек и восстановить по ним треугольник (построить его вершины)

В соответствии с поставленной целью, определением объекта, предмета, выдвинутой гипотезой поставлены следующие задачи:

1. Изучение теории по решению задач на построение;

2. Систематизация знаний о замечательных точках треугольника;

3. Составление геометрических задач по данной теме и их решение.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: моделирование, изучение методов решения задач на построение, выделение вспомогательной фигуры, эксперимент, исследование.

Основная часть.

Сформулируем задачу - математическую модель рассмотренной реальной ситуации, в общем виде так: даны три точки треугольника и описано свойство, характеризующее отношение этих точек к искомому треугольнику. Требуется построить треугольник.

Предварительно изучим теорию по решению задач на построение [1,6,8,9,10].

Выделим интересные точки, с которыми будем работать: вершины треугольника; середины сторон; основания высот; основание биссектрис; центр описанной окружности; центр вписанной окружности; ортоцентр; центр тяжести; центры вневписанных окружностей; точки симметричные ортоцентру треугольника относительно сторон; точки пересечения биссектрисы, высоты и медианы треугольника с окружностью описанной около этого треугольника [1,5,9,].Создадим различные комбинации из трех точек перечисленных выше.

Нами были рассмотрены 24 задачи на построение. Их можно разделить на 3 группы:

1. Задачи, не имеющие решения.

2. Задачи, имеющие единственное решение задачи.

3. Задачи, имеющие бесконечное множество решений, т. е. фигура однозначно не определена.

Рассмотрим наиболее интересные из них в плане построения и выводов.

Задачи 1 группы.

1.  Построить треугольник по центру тяжести - М, центру описанной окружности – О и ортоцентру - Н. Задача не имеет решения, если эти точки не лежат на одной прямой и отношение НМ : МО ≠ 2 : 1 (свойство прямой Л. Эйлера) [5,9]. Если эти условия выполняются, то задача имеет бесконечное множество решений.

2.  Построить треугольник по вершине - А центрам вписанной - О и вне вписанной – О1 окружностей. Задача не имеет решения, если

∟ОА О1≠ 900 (свойство биссектрис смежных углов).

Задачи 2 группы.

3.  Построить треугольник по центрам: вписанной – О. описанной - Р и вне вписанной – О1 окружностям.

Решение. Пусть ∆ АВС – искомый, тогда О – центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис, Р – центр описанной окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров, О1 - центр вне вписанной окружности – точка пересечения биссектрис внешних углов.

1.  Середина отрезка ОО1 – М лежит на окружности, описанной около ∆ АВС (теорема Мансиона) [5]. Точки А, В,С лежат на этой окружности.

2.  Точки А, О и О1 лежат на одной прямой – биссектрисе угла А.

3.  ∟ОСО1 = ОВО1= 900 → точки С и В лежат на окружности центра М, радиуса МО.

Эта задача и следующие задачи имеют единственное решение.

4.  Построить треугольник по центру вписанной окружности – О и двум вершинам.

5.  Построить треугольник по центру вне вписанной окружности – О1 и двум вершинам.

6.  Построить треугольник по центру тяжести - М и двум вершинам.

7.  Построить треугольник по ортоцентру – Н и двум вершинам.

8.  Построить треугольник по центру вписанной окружности – О. точки касания ее со стороной и одной из вершин этой стороны.

9.  Построить треугольник по основаниям его высот.

10.  Построить треугольник по основаниям его медиан.

11.  Построить треугольник ABC по основаниям двух медиан и высоты.

12.  Построить треугольник по точкам пересечения его биссектрис с описанной окружностью.

13.  Построить треугольник по точкам пересечения с описанной около него окружностью высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной вершины.

14.  Построить треугольник двум вершинам и основанию биссектрисы из одной из данных вершин.

Задачи 3 группы (имеют бесконечное множество решений).

15.  Построить треугольник по центру описанной окружности – Р и двум вершинам.

16.  Построить треугольник двум вершинам А В и основанию биссектрисы, проведенной из третьей вершимы С.

Рассмотрим решение этой задачи.

По свойству биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника имеем = = → точки К, М, С принадлежат множеству точек, для каждой из которых отношение расстояний до 2-х точек А и В есть величина постоянная – это множество есть окружность Аполлония.[7]

Заключение.

В результате выполнения работы получены следующие результаты:

1.  Построили математическую модель реальной ситуации.

2.  Изучили в литературе методы решения задач на построение.

3.  Выделили интересные точки в треугольнике.

4.  Рассмотрены и решены 24 задач, в работе представили 16 наиболее интересных из них; получен вывод, что не всякие три точки треугольника однозначно его определяют. А, именно, из рассмотренных нами 24 ситуаций, 12 – это те, в которых по 3-м заданным точкам однозначно может быть построен треугольник.

Литература.

1. Анищенко ч.1. Красноярск: РИО ГОУ ВПО КГПУ им. , 2008. – 98С.

2. Аргунов построения на плоскости./ - М.: Просвещение, 1966. - 270с.

3. Атанасян 7- 9. М.: Просвещение 1994.

4. Глухова по решению задач планиметрии. /, , и др.- Красноярск, 2007. – 164с.

5. Зетель геометрия треугольника. - М.: Государственное учебно – педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1962.

6. Клименченко на построение треугольника по некоторым данным точкам / - Математика в школе, 1990, №1, с.19.

7. встречи с геометрией./ Л - М.: «Наука», 1978.

8. О построение треугольника по некоторым его замечательным точкам / - Математика в школе, 1991, №3, с.46.

9. Погорелов 7 – 11. М.: Просвещение, 1993.

10. Туманов решения задачи. – М.: Просвещение, 1969.