Действительные числа. Отношение порядка и его следствия. Промежутки

§8. Действительные числа. Отношение порядка и его следствия. Промежутки.

8.1 Определим действительное число как бесконечную десятичную дробь вида а0,a1a2a3…an..., где а0 – целое число (а0 Î Z), ai (i Î N) – цифры от 0 до 9, без 9 в периоде, но без требования периодичности.

Таким образом, действительные числа возникают в результате расширения множества рациональных чисел в форме бесконечных десятичных дробей путем отказа от условия периодичности, но с сохранением требования отсутствия 9 в периоде.

Рациональные числа – это такие действительные числа, которые записываются с помощью периодических десятичных дробей. Напомним, что к рациональным числам относятся целые числа и конечные десятичные дроби (их можно записать как бесконечные десятичные дроби с 0 в периоде).

Иррациональные числа – это действительные числа, представимые непериодическими бесконечными десятичными дробями.

Например, 7,231701700170001700001… или – иррациональные числа, в первом случае а0 = 7, а во втором а0 = –7.

Для действительных чисел на этапе их введения указанным выше способом операции сложения и умножения не определяются. Это делается позже.

Для действительных чисел по аналогии с рациональными числами (в форме бесконечных десятичных дробей) вводятся отношения порядка.

Действительные числа а0,a1a2a3…an... и b0,b1b2b3…bn… называются равными (a = b), если их записи совпадают, то есть если а0 = b0, a1 = b1,…, an = bn,….

Действительные числа а0,a1a2a3…an... и b0,b1b2b3…bn… не равны между собой (a ¹ b), если а0 ¹ b0 или если а0 = b0, но существует n (n Î N), что an ¹ bn. В случае a ¹ b найдется первый номер k (0 £ k £ n) такой, что а0 = b0, a1 = b1, …, ak - 1 = bk – 1, ak ¹ bk. При этом если ak < bk, то считают a < b, если ak > bk, то a > b.

В частности, если а0 ¹ b0 и а0 < b0, то a < b, а если а0 > b0, то a > b.

Отношение a £ b означает, что либо a = b, либо a < b. Ясно, что если a £ b и
a ¹ b, то a < b.

Очевидно, что введенные для действительных чисел отношения порядка удовлетворяют основным соотношениям 10 и 20 из §3:

10. a £ а; если a £ b и b £ a, то a = b.

20. Если a £ b и b £ c, то a £ с.

Следовательно, имеют место и их следствия 1 и 2 из § 4.

  1.  Если a £ b, b £ с и а = с, то a = b = с.

  2.  Если a < b, b £ с (соответственно a £ b, b < с или a < b, b < с), то a < с.

Эти следствия основных соотношений 10 и 20 без труда можно получить непосредственно из определения отношений порядка для действительных чисел.

8.2 В §7 введены множества конечных десятичных дробей , , (соответственно и ), связанных с формальными бесконечными дробями и , и там же указаны свойства монотонности последовательностей an и (bn и ).

Оказывается, что соотношение b > a эквивалентно соотношениям при достаточно больших номерах k.

ö Очевидно, что из следует b > a, так как при .

Несколько труднее доказывается обратное следование. Отношение b > a означает, что либо , либо , где при некотором i Î N. Так как ,то .

В записи все цифры не могут быть равными 9, тогда обозначая j (j > i) номер, при котором , имеем . Величины bn не убывают, не возрастают с увеличением номера n. Следовательно, при выполняется соотношение , так как .

Из доказанного, в частности, следует, что эквивалентны соотношения b > a и , а также b > a и при достаточно больших номерах k. Это означает, что если b > a, то и некоторое десятичное приближение bk к b по недостатку превышает а, а также b превышает не только а, но и некоторое приближение к а по избытку.

Множества конечных десятичных дробей и , по указанному правилу сопоставляемые действительному числу а и теснейшим образом с ним связанные , играют важную роль в построениях этой книги. Будем называть множеством примыкающих десятичных приближений к числу а по недостатку, а – множеством примыкающих десятичных приближений к числу а по избытку. Встречающееся обозначение пары множеств, например и , будет означать, что либо это множества примыкающих десятичных приближений к некоторому числу с, либо ищется число с, для которого эти множества являются примыкающими.

8.3 Из определения отношений порядка для действительных чисел следует, что если a < b, то между ними можно вставить неограниченное число как рациональных, так и иррациональных чисел.

ö Пусть а = а0,a1a2a3…an..., b = b0,b1b2b3…bn….

а0 = b0, a1 = b1, …, ak - 1 = bk - 1, ak < bk.

1)  bk – ak > 1.

Выбираем γk такое, что ak < γk < bk. Тогда при с = а0,a1a2a3…ak- 1γk имеем a < c < b и с – рациональное число (конечная десятичная дробь).

Еще девять чисел, лежащих между a и b, непосредственно указываются в виде

При этом a < c < c1 < c2 < …< c9 < b.

Между числами c и c1 можно вставить таким же образом еще девять рациональных чисел:

При этом . Такой процесс можно неограниченно продолжить.

Промежуточные иррациональные числа легко получить из построенных выше промежуточных рациональных чисел, добавляя после последней цифры конечной десятичной дроби «хвост» цифр, не являющийся периодическим, например, 1010010001000100… .

2)  bk – ak = 1.

В записи числа а, в силу отсутствия 9 в периоде, найдется номер k + l (l ³ 1), что
ak+l < 9. Обозначая, ak+l + 1 = γk+l £ 9, видим, что рациональное число удовлетворяет условию a < c < b.

Остальное построение, аналогично построению в случае 1) (bk – ak > 1), лишь номер k заменяется на номер k + l. Заметим, что это построение промежуточных чисел между a и b является общим, оно годится и в случае bk – ak > 1.

8.4 Отношение порядка для действительных чисел позволяет определить множества:

1.  – числовой отрезок на множестве действительных чисел с концами a и b.

2.  – числовой интервал на множестве действительных чисел, концы a и b не входят в множество (a; b).

Далее слова «числовой», «на множестве действительных чисел» будут опускаться.

3.  – полуинтервал.

4.  – полуинтервал.

5.  – бесконечный луч с левым концом.

6.  – бесконечный луч, левый конец луча не входит в множество (а; ¥).

Далее слово «бесконечный» в словосочетании «бесконечный луч» будет опускаться.

7.  – луч с правым концом b.

8.  – луч, правый конец которого не входит в множество
(–¥; b).

9.  – множество всех действительных чисел.

Общим свойством всех этих множеств является следующее утверждение.

Пусть X = {x} – любое из указанных девяти множеств. Если и , то любое действительное число х, промежуточное между х1 и х2 (такое, что х1 < x < x2) также принадлежит множеству Х.

Множества действительных чисел X = {x}, обладающие этим свойством, называют промежутками.

По формальным соображениям (отсутствием возможности нарушения условий в определении промежутка) множество, состоящее из одного действительного числа, и пустое множество также считаются промежутками (вырожденными).

Далее будет доказано, что указанными множествами исчерпываются все типы промежутков.