Метод координат в пространстве

Математика, 9 класс

Метод координат в пространстве

1.1.  Координаты вектора и координаты точки в пространстве

1.1.1. Координаты вектора

Пусть , и – три некомпланарных вектора. Рассмотрим произвольный вектор .

Как известно, вектор можно разложить по векторам , , , то есть представить в виде . Такое разложение – единственное.

Векторы , и будем называть базисом, а числа х1, х2, х3 – координатами вектора в этом базисе. Обозначение: .

1.1.2. Если векторы базиса взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину, то такой базис называют ортонормированным. Обычно векторы ортонормированного базиса обозначают , и .

1.1.3. Длина вектора в ортонормированном базисе находится по формуле

(1.1)

где – координаты вектора .

1.1.4. Пусть в базисе , , у векторов и координаты и – соответственно. Тогда

(1.2)

(1.3)

(здесь a – действительное число).

1.1.5. (Первый способ введения системы координат в пространстве)

Пусть О – некоторая точка и ОХ, ОY и OZ – три прямые, проходящие через точку О и не лежащие в одной плоскости. Будем рассматривать каждую прямую и как числовую ось с нулем в точке О (стрелки указывают направления осей). Прямые ОХ, ОY и OZ назовем координатными осями, а плоскости ОХY, ОХZ и ОYZ – координатными плоскостями.

Пусть М – любая точка пространства. Проведем через нее плоскости, параллельные координатным. Плоскость, параллельная ОYZ пересечет ОХ в точке Мх, плоскость, параллельная ОХZ пересечет ОY в точке Му, а плоскость, параллельная ОХY пересечет OZ в точке Мz. Точки Мх, Му и Мz назовем проекциями М на координатные оси.

Пусть точка Мх на числовой оси ОХ имеет координату х, точка Му на ОY – координату у, а точка Мz на ОZ – координату z. Числа х, у и z назовем координатами точки М в данной системе координат.

Обозначение: М(х, у, z).

Замечание: если через точку М провести прямую, параллельную оси OZ, она пересечет плоскость ОХY в точке Мху. Точка Мху есть проекция точки М на координатную плоскость ОХY.

Утверждение: координаты точки Мху в системе координат ОХY совпадают с двумя первыми координатами точки М: Мху(х, у, 0).

Замечание: очевидно, что данное утверждение справедливо для проекций точки М на другие координатные плоскости.

Из утверждения вытекает один из практических способов вычисления координат точки в пространстве: проектируем ее на координатную плоскость и находим координаты проекции в плоской системе координат.

1.1.6. Если координатные оси взаимно перпендикулярны, то система координат называется прямоугольной (именно ее вы изучаете в школе).

На практике может оказаться полезным следующий факт, связанный с этой системой: каждая координата точки М в прямоугольной системе координат есть взятое с соответствующим знаком расстояние от точки до одной из координатных плоскостей (х – расстояние до ОYZ, у – расстояние до ОХZ, z – расстояние до ОХY).

1.1.7. (Второй способ введения системы координат в пространстве)

Рассмотрим в пространстве некоторую точку О (начало координат) и базис из векторов , и (будем считать, что векторы отложены от точки О). Пусть М – произвольная точка пространства. Вектор назовем радиус-вектором точки М в данной системе координат. Пусть – координаты вектора в базисе (то есть ).

Координатами точки М в системе координат назовем координаты ее радиус-вектора в базисе , ,.

Замечание 1. Если прямые, проходящие через точку О параллельно векторам , и обозначить ОХ, ОY и OZ – соответственно, то мы получим координатные оси и координатные плоскости, аналогичные тем, которые рассматривались в пункте 1.1.5.

Замечание 2. Если мы будем считать, что единичный масштаб на осях ОХ, ОY и OZ равен длинам векторов , и , а положительные направления осей совпадают с направлениями этих векторов, то координаты, определенные в 1.1.5, совпадут с полученными по определению из этого пункта.

Замечание 3. Изложенный в этом пункте подход редко используется для непосредственного нахождения координат точки, однако, благодаря ему, можно свободно применять векторный метод для аналитического описания и исследования геометрических объектов.

1.1.8. Рассмотрим систему координат, заданную точкой О (началом) и ортонормированным базисом , , (такую систему принято называть прямоугольной декартовой). Пусть А и В – две точки пространства, А(х1, у1, z1) и В (х2, у2, z2). Вектор можно представить в виде разности ( и – радиус-векторы соответствующих точек).

Тогда у координаты найдем по формулам (1.2):

(1.4)

По формуле (1.1) мы тогда можем вычислить длину отрезка АВ:

(1.5)

1.2 Уравнения прямой

Рассмотрим следующую задачу: В некоторой системе координат точка М0 имеет координаты (х0, у0, z0), а вектор .

Требуется найти уравнения прямой, проходящей через точку М0 параллельно .

Решение:

Пусть М(x, y,z) – какая-либо точка прямой.

Вектор {x-x0, y-y0, z-z0} коллинеарен вектору .

Запишем признак коллинеарности векторов и :

и перепишем это равенство в координатном виде:

Отсюда получим:

(1.6)

Это параметрические уравнения прямой.

Замечание. Придавая параметру t всевозможные значения, мы найдем координаты всех точек прямой.

Запишем теперь признак коллинеарности векторов и в координатном виде (если векторы коллинеарны, их координаты пропорциональны). Получим:

(1.7)

Это канонические уравнения прямой.

Замечание. Подставляя в (1.7) вместо x, y и z координаты любой точки, мы можем узнать, лежит ли она на прямой.

1.3. Уравнение плоскости

1.3.1. Рассмотрим следующую задачу: через точку М0(x0,y0,z0) провести плоскость, перпендикулярную вектору {n1,n2,n3} (“провести” – значит, составить уравнение).

Решение. Пусть М(x, y,z) – некоторая точка плоскости. Вектор перпендикулярен вектору . Это означает, что скалярное произведение на равно нулю:

(1.8)

Мы получили уравнение нужной плоскости.

1.3.2. Покажем, что уравнение

(1.9)

тоже задает некоторую плоскость. Будем считать, что и рассмотрим плоскость, проходящую через точку , перпендикулярную вектору {A, B,C}. Подставив эти данные в уравнение (1.8), мы получим:

откуда получается уравнение (1.9).

1.3.3. Расстояние от точки М0(x0,y0,z0) до плоскости a, заданной уравнением

равно

(1.10)

(попробуйте ее доказать).

1.3.4. Уравнение (1.11)

задает плоскость, проходящую через точки М1(a,0,0), M2(0,b,0) и M3(0,0,c) (это легко проверить, подставив координаты точек в уравнение).

Уравнение (1.11) называется уравнением плоскости “в отрезках”, так как задаваемая уравнением плоскость отсекает на координатных осях отрезки длины a, b и c.

Задачи для самостоятельного решения

Ниже приводятся тексты заданий и указания для их самостоятельного решения. Вам необходимо решить эти задачи, оформить решения отдельно от решений по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

М9.7.1. Дан правильный тетраэдр ABCD с боковым ребром, равным a. Введите прямоугольную систему координат так, чтобы ее начало находилось в точке А, оси OX и OY лежали в плоскости (ABC), причем OX совпадала с AB, а OY была ему перпендикулярна. Ось OZ перпендикулярна плоскости (АВС) и направлена в ту сторону, где лежит вершина D.

1)  В данной системе координат найдите координаты всех вершин тетраэдра.

2)  Составьте уравнения ребра АВ (параметрические и канонические).

М9.7.2. Пусть [М1, М2] отрезок, М – точка, лежащая на прямой М1М2 и О – любая точка пространства. Докажите, что если то

Замечание. Решение этой задачи можно найти в учебнике геометрии.

М9.7.3. Зная координаты точек М1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2), найдите координаты точки М, которая обладает свойством:

Указание: используйте формулу из предыдущей задачи и то, что координаты радиус-векторов точек совпадают с координатами этих точек (считайте, что О – начало координат).

М9.7.4. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед (АВ=8см, ВС=6см, А1А=10см).

a)  Введите систему координат следующим образом: начало координат в точке А, OX

совпадает с АВ, OY – с AD и OZ – с АА1. В этой системе координат найдите координаты всех вершин параллелепипеда.

b)  Составьте уравнение плоскости a, отсекающей от ребер АВ, AD и АА1 отрезки

длиной 2, 3 и 4 соответственно (считая от точки А) (формула (1.11)).

c)  Вычислите расстояние от этой плоскости до точек А и D1.

Указание: используйте формулу (1.10).

d)  Найдите координаты проекции точки D1 на плоскость a.

Указание: проекцию точки D1 на a можно найти как точку пересечения плоскости a с прямой, проходящей через D1 и перпендикулярной a. Удобнее всего составить параметрические уравнения прямой (1.6), взяв за направляющий вектор – вектор , координаты которого – суть коэффициенты при x, y и z в уравнении плоскости a (смотри п.1.3.2–1.3.3). Подставив в уравнение плоскости a вместо x, y и z их выражения через t в параметрических уравнениях, вы получите уравнение относительно t. Найденное из этого уравнения значение параметра t подставьте в параметрические уравнения прямой. Теперь вы найдете координаты проекции точки D1.

М9.7.5. Известны координаты точек А(1,0,0), В(3,2,-1), С(1,0,-1) и D(6,1,-2). Вычислите расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD.

Указание: рассмотрим плоскости a и b, проходящие через указанные прямые параллельно друг другу. Очевидно, что расстояние между a и b равно расстоянию между АВ и CD.

Таким образом, достаточно найти уравнение плоскости j, параллельной и и проходящей через точку С, и найти по формуле (1.10) расстояние от точки А до этой плоскости.

Чтобы найти вектор , перпендикулярный j (а потом использовать формулу (1.8)) воспользуемся следующим фактом.

Вектор перпендикулярен и . Положим его координаты равными {n1,n2,n3}, а координаты и найдем из условия задачи: {2,2,-1}, {5,1,-1}.

Очевидно, что и (так как это перпендикулярные векторы). Отсюда получаем систему из двух уравнений:

Осталось найти какое-нибудь решение этой системы.