О тригонометрических уравнениях и неравенствах

Математика, 10 класс

О тригонометрических уравнениях и неравенствах

1. В математическом энциклопедическом словаре сказано: «Тригонометрия (от греческого – треугольник и измеряю) – раздел геометрии, в котором метрические соотношения между элементами треугольника описываются через тригонометрические функции, а также устанавливаются соотношения между тригонометрическими функциями... Современный вид тригонометрия получила в работах Л. Эйлера (18 век)».

«Тригонометрические функции – класс элементарных функций: , , , , , (там же)».

Второй аспект тригонометрии традиционно используется для проверки умений преобразований математических выражений. В данной статье это будет продемонстрировано на содержании: тригонометрические уравнения и неравенства. В последнем пункте предложены задачи для самостоятельного решения.

2. При решении уравнений и неравенств производятся преобразования математических выражений. Естественно, эти выражения имеют смысл при некоторых условиях, которые предварительно оговариваются. Одним из главных законов здесь является то, что в преобразованиях нельзя нарушать условия существования начальных выражений. Говорят, что выражения должны остаться эквивалентными. В рассматриваемом случае не должны потеряться корни и появиться новые.

Пример 2.1.

Решить уравнение:

. (1)

Решение.

При универсальной тригонометрической подстановке получим, что

(2)

Исходное уравнение сведется к уравнению

.

Тогда , то есть . Следовательно, .

Однако, здесь имеется ошибка, так как формулы (2) определены для . То есть область определения исходного уравнения (1) уменьшилась. Поэтому необходимо проверить именно те числа, которые не вошли в область определения выражений (2):

.

При этих значениях и , то есть уравнение (1) превращается в тождество.

Ответ: .

3. Решение тригонометрических уравнений сведением их к алгебраическим.

Суть метода – преобразовать исходное уравнение к виду

F(f(t))=0, (4)

где F(x) – некоторый многочлен, а f(t) – одна из тригонометрических функций.

Здесь необходимо все тригонометрические функции из исходного уравнения выразить через одну. И удачно! Конечно, требуется контроль за областью определения и множеством решений.

Пример 3.1.

Решить уравнение:

(5)

Решение.

Числа не являются решением (5). Поэтому рассмотрим (5) на множестве чисел, где

.

Тогда по формулам (2) для случая аргумента 2х и, положив , получим алгебраическое уравнение

.

После преобразований, получим

(1+y)2(1-2y)=0

Корни этого уравнения

Следовательно, получим два уравнения

и

Ответ: .

4. Применение тригонометрических формул преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение.

Пример 4.1.

Решить уравнение:

.

Решение.

Умножим и разделим на и преобразуем:

Знаменатель обращается в ноль при . Но эти числа не являются корнями исходного уравнения. Поэтому исходное уравнение эквивалентно:

.

Откуда . Но , то есть , или .

Ответ: .

5. Применение свойств тригонометрических функций.

Если уравнение имеет вид

f(t)=g(t),

f и g – составлены из тригонометрических выражений. Решение можно найти среди тех t, которые удовлетворяют уравнениям

f(t)=a; g(t)=a,

где а – действительное число, принадлежащее областям значений f(t) и g(t).

Пример 5.1.

Решить уравнение:

.

Решение.

Запишем уравнение в виде:

.

Добавив к обеим частям , получим

,

или

.

Левая часть неотрицательна, а правая – неположительна. Следовательно, равенство имеет место только при условии

Тогда имеем случаи:

1)  или

Откуда

.

Полученные значения удовлетворяют и второму уравнению:

2)  или .

Откуда .

Подставив эти значения х во второе уравнение, получим

,

или , что неверно.

Ответ: .

6. Решение тригонометрических неравенств.

В большинстве случаев решение тригонометрических неравенств можно сводить при помощи тождественных тригонометрических преобразований и введения вспомогательных неизвестных к решению одного или нескольких неравенств.

Пример 6.1.

Решить неравенство:

.

Решение.

Преобразуем

.

Тогда

.

Положив , получим

.

Решение этого квадратного неравенства – интервал

.

Тогда имеем

.

Неравенство

выполняется при любом х.

Решая неравенство

, получим

.

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

Ниже приводятся тексты заданий для самостоятельного решения. Вам необходимо решить эти задачи, оформить решения отдельно от решений по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

Решить уравнения

М11.10.1. ;

М11.10.2. ;

М11.10.3. ;

М11.10.4. ;

М11.10.5. ;

М11.10.6. .

Решить неравенства

М11.10.7. ;

М11.10.8. ;

М11.10.9. ;

М11.10.10. ;

М11.10.11. ;

М11.10.12. .