Моделирование и анализ функции полных издержек. Закон наиболее экономичного производства.
Задание.
Функция полных переменных издержек производства имеет вид 
- вариант задания. Найти предельные 
и средние
издержки. Построить графики функции 
и исследовать характер их изменения. Выяснить при каких объёмах производства выполняется закон наиболее экономичного производства. Рассчитать эластичность полных издержек в точках экстремума функций 
.
экстремума функций .
Пример. Дана функция полных издержек = 
. Средние издержки определяются формулой:
= 
,
предельные издержки:
= 
.
На рисунке 1 представлены графики суммарных (ряд 1), средних (ряд 2), предельных (ряд 3) издержек.
Рассчитаем, при каких объемах производства выполняется закон наиболее экономического производства, при котором средние издержки производства минимальны. Уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек. Действительно, минимальное значение функции средних издержек достигается в точке, где производная функции равна нулю:
.
Найдем
или
, отсюда 
или
- равенство предельных и средних издержек.
Рисунок 1
В нашем случае средние издержки задаются формулой:
) = 
,
а предельные издержки –
= 
.
Тогда выполняется равенство
при 
и 
.
Таким образом, при объеме производства 
достигается наиболее экономичное производство.
Суммарные предельные издержки (первая производная функции полных издержек) показывают, на сколько единиц изменяются полные издержки, если объем выпуска продукции изменится на единицу. полные издержки, если объем выпуска продукции изменится на единицу( зывают, на сколько еденицРассчитать эластичность полных изд Вторая производная полных издержек
позволяет показать влияние каждой дополнительной единицы продукции выпускаемой продукции на полные издержки .
По смыслу задачи функция определена для 
. При увеличении объемов производства полные издержки непрерывно возрастают, так как
для любых 
, поскольку 
для квадратного уравнение 
. Вторая производная функции позволяет определить, при каких объемах производства издержки растут быстрее, а при каких медленнее.
Найдем
,
тогда при 
функция предельных издержек достигает своего минимального значения: 
.
Найдем минимальное значение функции средних издержек:
,
тогда при 
функция средних издержек достигает своего минимального значения: 
.
Суммарные издержки растут быстро от 
до 
и, на этом промежутке видно из графика (Рисунок 1) , убывают предельные издержки , достигая в точке своего минимального значения. Это значит, что на этом участке каждая дополнительная единица выпускаемой продукции используется менее эффективно. Это приводит к увеличению полных издержек . Если изменяется от 2 до 3 единиц, то рост суммарных издержек 
замедляется, достигая своего наилучшего значения в точке 
. Здесь средние издержки минимальны и выполняется условие наиболее экономичного производства 
. На участке от до , что видно из графика (Рисунок 1), предельные издержки увеличиваются. Это значит, что каждая дополнительная единица выпускаемой продукции используется все более эффективно, что и приводит к снижению роста суммарных издержек.
Рассчитаем эластичность полных издержек в точках, где функции средних и предельных издержек достигают своего минимального значений: и .
Эластичность полных издержек показывает, на сколько процентов изменятся полные издержки, если объем производства увеличится на 1процент и вычисляется по формуле
.
В нашем случае 
.
Найдем эластичность полных издержек при :
.
Найдем эластичность полных издержек при :
.
Это значит, что при увеличении объема производства с двух единиц на один процент, полные издержки увеличатся приблизительно на 0,33 процента, то есть менее чем на один процент, и следовательно функция полных издержек при неэластична 
. При увеличении объема производства с трех единиц на один процент, полные издержки увеличатся также на один процент, и функция полных издержек при будет нейтральна 
.
Дальнейшее увеличение объема производства приведет к увеличению полных издержек более чем на один процент и функция полных издержек будет эластична 
. Например, при 
, 
, то есть увеличение объема производства с 4 ед. на один процент приведет к увеличению полных издержек на 2,33 процента
будет эластична 
Варианты заданий
1. С (х) = 3х3-7х2+8х. 16. С (х) = х3-4х2+9х.
2. С (х) = х3-х2+12х. 17. С (х) = 4х3-8х2+6х.
3. С (х) = 2х3-х2+5х. 18. С (х) = х3-8х2+22х.
4. С (х) = 2х3-9х2+16х. 19. С х) = х3-6х2+15х.
5. С (х) = х3-х2+7х. 20. С (х) = 3х3-3х2+9х.
6. С (х) = х3-4х2+16х. 21. С (х) = 3х3-2х2+8х.
7. С (х) = х3-2х2+6х. 22. С (х) = х3-7х2+18х.
8. С (х) = 2х3-х2+2х. 23. С (х) = х3-3х2+12х.
9. С (х) = х3-8х2+23х. 24. С (х) = 2х3-5х2+15х.
10. С (х) = х3-6х2+14х. 25. С (х) = 3х3-8х2+14х.
11. С (х) = 3х3-х2+4х. 26. С (х) = 4х3-7х2+15х.
12. С (х) = 2х3-х2+6х. 27. С (х) = 5х3-7х2+13х.
13. С (х) = 2х3-8х2+15х. 28. С (х) = х3-7х2+17х.
14. С (х) = х3-х2+4х. 29. С (х) = х3-9х2+28х.
15. С (х) = 2х3-4х2+5х. 30. С (х) = 2х3-3х2+7х.
