Метод координат

Метод координат

I вариант

Из основного тригонометрического тождества следует sin 2 α =

а) 1 – cos 2 α б) cos 2 α -1; в) 1 + cos 2 α ; г) – 1 – cos 2 α

Косинусы смежных углов….

а) не равны; б) равны; в) противоположны; г) верный ответ не указан

Для любого угла α из промежутка 0 ≤ α ≤ 180 0 справедливо неравенство … ≤ cos α ≤ …

а) 0 ≤ cos α ≤ 1; б) – 1 ≤ cos α ≤ 1; в) – 1 ≤ cos α ≤ 0; г) верный ответ не указан.

Если точка М (; ) лежит на окружности с центром в начале координат, то радиус окружности равен…..

а) 2; б) 3; в) 1; г) верный ответ не указан.

В Δ АБС < А = 30 0; АВ = см, АС = 6 см.

Длина третьей стороны равна….

а) ; б) 21; в) ; г) верный ответ не указан.

Скалярное произведение векторов

→ →

а {2; - 8 } и в {3; 2 } равно….

а) 10; б) -10; в) 22; г) верный ответ не указан.

Найдите сos α , если sin α =

а) ; б) ; в) ; г) правильный ответ не указан;

Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 24 см, АС = 4 см,

< А = 600

а) 36 см 2; б) 24 см 2 ; в) 48 см2; г) 48 см2;

9. При каких значениях α векторы а {4; 5 } и в {х; - 4} перпендикулярны?

а) х = 5; б) х = 4; в) х = 6; г) верный ответ не указан.

10.При каких значениях х векторы

ā {5; 4} и {х; - 4 } коллинеарный

а) – 5; б) 2; в) 4; г) верный ответ отличен от указанных.

11.Точка М ( ; ) лежит на окружности с центром вначале координат. Найдите длину диаметра этой окружности:

а) 1; б) 3; в) 2; г) 4;

12. Площадь треугольника АВС равна 60 см 2. Чему равна сторона АВ, если АС = 20 см, < А = 30 0?

а) 20 см, б) 10 см, в) 12 см; г) верный ответ отличен от указанного.

13.В треугольнике одна из сторон равна 7 см, а противоположный угол равен 45 0. Найдите радиус описанной окружности.

а) 7 см, б) см, в) 3,5 см, г) 3,5 см.

14. В Δ МКР МК = 8 см, КР = 12 см, МР = 15 см, КО – биссектриса < К.

Найдите разность длины отрезков ОР и ОМ

а) 3 см, б) 2 см, в) 2,5 см, г) 3,5 см.

15. К одной и той же точке приложены две силы Р и Q, действующие под

углом 120 0 друг другу, причем ‌ Р ‌ = 8, ‌ Q‌ = 8

Равнодействующая сил Р и Q равна R…

а) 4; б) 8; в) 16; г) верный ответ не указан.

16. В прямоугольном ∆ АВС < С = 90 0, cos β = Найдите площадь ∆ АВС

а) 2; б) 1; в) ; г) верный ответ не указан.

17. 11) Ваше отношение к изученной теме:

а) очень хорошее; б) хорошее; в) удовлетворительное; г) отрицательное.

Метод координат

II вариант

Из основного тригонометрического тождества следует

cos 2 α = …

а) sin 2 – 1; б) 1 - sin 2х; в) 1 + sin 2х; г) - sin 2х – 1;

Синусы смежных углов…

а) равны; б) не равны; в) противоположны; г) верный ответ не указан.

Для любого угла α из промежутка О ≤ α ≤ 180 0 справедливо неравенство

… ≤ sin α ≤

а) – 1 ≤ sin α ≤ 1; б) 0 ≤ sin α ≤ 1; в) – 1 ≤ sin α ≤ 0; г) верный ответ не указан.

Точка М ( ; ) лежит на окружности, радиус которой равен….

а) 1; б) 2; в) 3; г) верный ответ не указан.

В Δ АВС < В = 45 0, АВ = см, ВС = 4 см.

Длина третьей стороны равна

а) ; б) 2; в) ; г) 34.

Скалярное произведение векторов

а {- 4; 3 } и б {5; 7 } равно….

а) – 41 б) 1; в) - 1; г) верный ответ не указан.

Найдите sin α , если cos α =

а) ; б) ; в) ; г) верный ответ не указан.

8. Найдите площадь Δ АВС, у которого ВС = 6 см, АВ = 12 см, а угол В равен 45 0.

а) 3 см2, б) 36 см 2, в) 72 см 2; г) верный ответ не указан.

9. При каких значениях х векторы а {х; - 7 } и в {3; 3}; перпендикулярны

а) 7; б) 3; в) 6; г) правильный ответ отличен от указанных.

10. При каких значениях y векторы а {5; 4} и в {у; - 8} коллинеарные?

а) – 10; б) –2; в) – 20; г) верный ответ не указан.

11. Точка М ( ; ) лежит на окружности с центром в начале координат. Найдите длину диаметра этой окружности.

а) 2; б) 4; в) 1; г) верный ответ не указан.

12.Площадь Δ АВС равна 80 см 2. Чему равна величина угла В,

если АВ = 10 см, ВС = 16 см?

а) 90 0; б) 60 0; в) 30 0; г) верный ответ не указан.

13. В треугольнике одна из сторон равна 8 , а противоположный угол равен 60 0. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

а) 8 см; б) см; в) 4 см; г) 6 см.

14. В Δ СДЕ СД = 12 см; ДЕ = 15 см; СЕ = 18 см.

ДК – биссектриса < Д. Найдите разность длин отрезков КЕ и СК.

а) 3 см; б) 2,5 см; в) 2 см; г) 1,5 см.

15. К одной и той же точке приложены две силы Р и Q, действующие под

углом 150 0 друг другу, причем | Р | = 6, | Q | = 13

Равнодействующая сил Р и Q равна R

а) 127; б) ; в) 27; г) верный ответ не указан.

16. В прямоугольном Δ АВС < С = 90 0, sin β = . Найдите площадь

этого Δ.

а) ; б) ; в) 1; г) верный ответ не указан.

17. Ваше отношение к изученной теме:

а) очень хорошее; б) хорошее; в) удовлетворительное; г) отрицательное.

Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Смешанная прогрессия для учащихся 9-х и 11-х классов

Ахметова Альфия Миргасимовна, учитель математики, методист

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики

Занятие № 1

Арифметическая прогрессия

Цель: Знать формулы и уметь их применять при решений задач.

Содержание урока

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… - арифметическая прогрессия.

а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7…,

, d – разность арифметической прогреccии.

,

, ,

,

, .

1. Найти первый член а1 и разность d арифметической прогрессии в котором

d=-1.

Ответ: а1=13, d=-1.

2. Известно, что при любом n сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессий выражается формулой . Найти первые три члена этой прогрессий.

Ответ: 1; 9; 17.

3. Если третий и седьмой члены арифметической прогрессии соответственно равны 1, 1 и 2, 3, то шестнадцатый её член равен 1) 6, 2) 8, 3) 10,6, 4) 4,4, 5) 5.

а16=?

1,2=4·d d=1,2/4 d=0,3

1,1-0,6=а1 a1=0,5

а16=а1+15·0,3=0,5+4,5=5.

Ответ: №5

4. Если в арифметической прогрессии сумма третьего и седьмого членов равна 10, первый член равен -3, то разность прогрессии равна 1)3, 2) 1, 3) 2, 4) -2, 5) .

d=?

а1+4·d=5,

-3+4·d=5,

4·d=8,

d=2.

Ответ: №3

5. Если в арифметической прогрессии второй и шестой члены соответственно равны 0,8 и 2,4, то десятый член равен 1) 4, 2) 8,6, 3) 4,2, 4) 10,4, 5) 6.

а10=?

1,6=4·d, d=0,4,

0,8=0,4+a1, a1=0,4,

a10=a1+9·d=0,4+9·0,4=4.

Ответ: №1

6. Сколько членов арифметической прогрессий нужно взять, чтобы их сумма равнялось 91. если её третий член равен 9, а разность седьмого и второго членов равна 20?

а1+6·d - а1-d=20,

5·d=20, d=4.

а1+2·d =9,

а1=9- 8=1,

D=b2-4·a·c=1+4·2·91=729,

Ответ: n=7.

Занятие №2

Геометрическая прогрессия

Цели: Уметь решать задачи, знать формулы геометрической прогрессии.

Содержание урока

Числовая последовательность, каждый член которой, начинается со второго, равен предыдущему, умноженное на некоторое отличное от нуля постоянное число, называется геометрической прогрессий.

для бесконечно убывающей прогрессии

1. Сумма первого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 40, а сумма второго и пятого равна 10. Найти знаменатель прогрессии.

Ответ: 0,25.

2. Сумма второго и четвёртого членов возрастающей геометрической прогрессии равна 30, а их произведение 144. Найти сумму девяти членов этой прогрессий.

5·q=2+2·q2 , 2·q2-5·q+2=0,

Д=25-16=9,

так как возрастающая, q=2,

Ответ: S9=1533.

3. Четвертый член возрастающей геометрической прогрессии больше второго члена на 24, а сумма второго и третьего членов равна 6. Найти произведение первых четырех членов этой прогрессии.

если q=5, то

Ответ:.

4. Сколько членов геометрической прогрессии нужно сложить, чтобы получить сумму 3069, если

q=2,

1024=2n, 210=2n .

Ответ: n=10.

5. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма которой равна 1,6, если второй член равен (-0,5).

16·q2-16·q-5=0

;

Ответ:

6. Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6. Сумма их квадратов 7,2. Найти знаменатель прогрессии.

36-36·q=7,2-7,2·q,

288=432·q.

Ответ:

7. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов её членов равна 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Д=25-16=32,

прогрессия убывающая, q=-0,5,

.

Ответ: ,

8. Найти второй член геометрической прогрессии, состоящей из 9 членов, которой произведение двух крайних членов равна 2304, а сумма четвертого и шестого членов равно 120.

b5=48,

2+2·q2=5·q,

2·q2-5·q+2=0,

,

,

b1=48·16=768,

,

Ответ: 384; 6.

Занятие №3

Смешанная прогрессия

Цель: Знать формулы и уметь их применять при решений задач.

Содержание занятия

Характеристические свойства прогрессий:

, где

1. Три числа a, b, 12 в указанном порядке составляют возрастающую геометрическую прогрессию, а числа a, b, 9 – арифметическую прогрессию. Найти a+b.

a, b, 12- возрастающая геометрическая прогрессия,

a, b, 9 – арифметическая прогрессия.

,

а2+18·а+81=48·а,

а2-30·а+81=0,

а1=3, а2=27, а <=12,

а=3, ,

a+b=9.

Ответ: 9.

2. Три числа x, y, 20 в указанном порядке составляют возрастающую геометрическую прогрессию, а числа x, y, 15 – арифметическую прогрессию. Найти y-x.

3. Три числа дают в сумме 18 образуют арифметическую прогрессию. Если к ним прибавить соответственно 1, 3 и 17, то они составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Найти исходное третье число.

2·b=18-b, 3·b=18, b=6,

a+c=12, a=12-c,

81=(12-c+1)·(c+17),

81=-c2-4·c+130+91

-c2-4·c+140=0,

,

c=-2+12=10.

Ответ: с=10.

4. Пусть x1, x2 корни уравнения 12·x-x2=A, а x3, x4 корни уравнения 108·x-x2=В. Найти А, если известно, что последовательность x1, x2, x3, x4 – геометрическая прогрессия, все члены которой положительны.

x1, x2, x3, x4 – геометрическая прогрессия.

x1, x1·q, x1·q2, x1·q3;

Ответ: .

5. Числа x, y и z образуют геометрическую прогрессию, а числа x+y, y+ z, x+ z образуют арифметическую прогрессию.

Найти z, если x+y+z=15 и .

15=3·x, x=5, y+z=15-x,

,

, .

Ответ: .

Модульная программа по теме: "Последовательности". 9-й класс

Ахметова Сурия Фарисовна, зам. директора по УВР, учитель математики

Статья отнесена к разделам: Преподавание математики | Общепедагогические технологии

Тип урока и применение педагогической технологии: изучение и первичное закрепление новых знаний, модульная технология.

Интегрирующая цель:

Познакомиться с понятием последовательности, её членов, их обозначением. Познакомиться с видами последовательности. Уметь задать последовательности разными способами. Освоение данного модуля будет способствовать развитию учебных умений и навыков в самостоятельной работе с учебником, умению обобщать и делать выводы (установочный).

Цель: подготовиться к изучению нового материала.

В процессе работы с УЭ–1, УЭ–2 вы должны:

а) усвоить понятие последовательности и её членов, их обозначение;
б) научиться определить виды последовательностей;
в) научиться найти члены последовательностей пользуясь формулы n-го члена последовательности и рекуррентной формулой;

УЭ–1 (1О мин.)

Цель: Изучить новый материал данной темы и начать его первичное усвоение.

Задание 1. (Работа с учебником “Алгебра” под редакцией стр. 81 п. 15).

а) прочитайте по учебнику стр. 81 п. 15;
б) запишите новые понятия в тетрадь, данные примеры последовательностей;
в) расскажите прочитанное друг другу;
г) запишите свой пример последовательности и укажите первый, третий и пятый члены.

Задание 2.

а) прочитайте о понятии конечной последовательности и запишите в тетрадь последовательность однозначных натуральных чисел;
б) выполните упражнение 329. Полученная последовательность бесконечная;
в) выполните упражнение 330. Вы получите колеблющуюся последовательность;
г) запишите в тетрадь виды последовательности;

Закончив изучение определений, дайте знать учителю о готовности к беседе.

Вопросы для беседы с классом.

Как вы понимаете слово “последовательность”? Приведите примеры последовательностей в жизни. Назовите в заданной последовательности первый, четвертый, десятый и n-ный члены

1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/n+1…

- Является ли последовательность трехзначных чисел конечной? Назовите её первый член. Сколько членов содержит эта последовательность?

(Ответ: 100; 999; 999 – 99 = 900)

УЭ–2 (20 мин.)

Цель: Вы должны:

а) научиться определить способ задания последовательности;
б) научиться найти члены последовательности с помощью формулы n-го члена;
в) научиться пользоваться рекуррентной формулой/

Задание 3.

Прослушайте объяснение учителя, делая записи в тетради/

Примите участие в учебной беседе, используя следующий план:

1. Способы задания последовательностей:

а) Описательный (например, на нечетных местах 0, на четных – единица);
б) Формулой;
в) Рекуррентный.

2. Разобрать в учебнике пример 1, пример 3 (п. 15).
3. Выполнить упражнение 334(а, в), стр. 83.
4. Подготовьте ответ на контрольный вопрос 1(а), стр. 92.

Задание 4.

1. Запишите в тетрадь слово рекуррентный (recurro – возвращаться).
2. Прочитайте определение рекуррентной формулы и запомните (стр. 82, п. 15).
3. Разобрать в учебнике пример 4.
4. Выполните упражнение 336 (а).
5. Подготовьте ответ на контрольный вопрос 1(б), стр. 92.

Задание 5 (дополнительное)

Если вы выполнили задания из учебника правильно, то решите: № 000 (б), № 000 (а).

УЭ–3 (15 мин.)

Цель: Проверить полноту и качество усвоенного материала.

Задание 6. Выполните самостоятельную работу:

а) Выписать первые пять членов последовательности натуральных чисел, дающих при делении на 3 остаток 1. Задать эту последовательность формулой n – го члена.
б) Числа Фибоначчи. Задайте рекуррентной формулой следующую последовательность:1; 1; 2; 3; 5; 8; …

Задание 7. Прослушайте сообщение о числах Фибоначчи.

Приложение 1.

Задание 8.

Проведите самоконтроль пользуясь таблицей (приложение 2), ответив на вопрос: достигли ли вы поставленной цели на уроке? Для этого вернитесь к началу модуля УЭ–1, к интегрирующей цели урока.

Запишите домашнее задание: изучить п. 15, № 000, № 000 (б), № 000 (в), № 000 (в, г).