ОПОРНЫЕ КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
I. Первообразная функции и неопределенный интеграл.
Основной задачей дифференциального исчисления является .
.
Интегральное исчисление решает обратную задачу – .
.
Потребность в этой операции определяется практикой.
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x) (или первообразной данной функции) на заданном промежутке, если для
всех х выполнено условие:
Задание 1. Заполните свободные клетки таблицы и проверьте выполнение условия, указанного в определении.
Первообразная F(x) | Функция f(x) | Проверка условия |
х2 | ||
х2 + 5 | ||
х2 | ||
cos x | ||
cos x | ||
ех |
?? Если задана функция и следует найти ее производную, т. е. выполнить операцию
, то однозначный ли результат при этом получится?
.
Если задана функция и следует найти ее первообразную, т. е. выполнить операцию
, то однозначный ли результат при этом получится?
.
Первообразная определяется с точностью до,
так как.
Определение 2. Выражение F(x) + С, где F(x) – .
и С – , называется неопределенным интегралом от функции f(x).
Нахождение первообразной функции называется.
Обозначение: .
Основные понятия: 
– ;
f(x) – ;
f(x)dx – ;
х – .
Теорема (о существовании первообразной для непрерывных функций).
Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то на этом отрезке у функции f(x) существует первообразная.
II. Свойства неопределенного интеграла.
1. 
или 
.
2. 
.
.
словесная формулировка свойства
.
3. 
.
.
словесная формулировка свойства
.
Замечание. Равенства в свойствах 2 и 3 понимаются с точностью до.
.
III. Таблица основных интегралов.
Замечание. Формулы легко проверяются с помощью.
?? Какую функцию следует продифференцировать, чтобы в результате получить подынтегральную функцию?
, где n
, где х
, где а
частный случай: 
= , где а
, где а
, где а ; х
, где а
Примеры:
а) 
б)
в) 
г) 
д) 
е) 
III. Основные приемы и методы интегрирования.
1. Интегрирование разложением
.
общий смысл математических преобразований подынтегральной функции
.
.
Примеры:
а) 
.
математическое преобразование подынтегральной функции
б) 
.
математическое преобразование подынтегральной функции
в) 
.
математическое преобразование подынтегральной функции
.
г) 
.
математическое преобразование подынтегральной функции
.
д) 
.
математическое преобразование подынтегральной функции
.
2. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента функции
Данный метод позволяет находить интегралы от сложных функций (суперпозиции двух функций). Фактически он является частным случаем метода
. В основе метода лежит использование формул:
, где ;
, где.
Такой подход позволяет расширить таблицу основных интегралов.
Для реализации этого метода полезно использовать следующие преобразования дифференциала, основанные на формуле:
а) 
, где b ;
б) 
, где а ;
в) 
, где а , b ;
г) 
= ;
д) 
;
е) 
;
ж) 
.
Примеры:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
3. Метод подстановки (или метод )
Данный метод основан на формуле:
,
где х = –
Примеры:
а) 
Пусть .
замена переменной
Тогда.
преобразование дифференциала
=
б) 
Пусть .
замена переменной
Тогда.
преобразование дифференциала
=
в) 
Пусть .
замена переменной
Тогда.
преобразование дифференциала
4. Метод интегрирования по частям
Если 
и 
– ,
то из формулы дифференциала произведения двух функций:
и ее последующего интегрирования получается формула интегрирования по частям:
Для использования этой формулы предварительно один из множителей
подынтегральной функции.
Примеры:
а) 
б) 
в) 
г) 
.
особенность применения формулы интегрирования по частям
.
д) 
.
особенность применения формулы интегрирования по частям
.
Существуют также специальные приемы и методы интегрирования рациональных функций (
, где Р(х) и Q(x) – многочлены от х); тригонометрических функций и т. д.
