Функции многих переменных

Лекция 4

Функции многих переменных

Пример 1. Площадь прямоугольника со сторонами выражается формулой

, где - длина, - ширина,

т. е. площадь прямоугольника – это функция двух независимых переменных.

Пример 2. Объём прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны равен

,

т. е. объём прямоугольного параллелепипеда – это функция трёх независимых перемен-ных.

Далее мы будем говорить о функции двух независимых переменных, имея в виду то, что всё сказанное об этой функции, может быть распространено соответствующим образом на функции с любым конечным числом независимых переменных.

Определение 1. Если каждой паре значений двух независимых друг от друга переменных величин и , из некоторой области их изменения , соответствует определённое значение величины , то говорят, что есть функция двух независимых переменных и , определённая в области .

Символически функция двух переменных обозначается так:

.

Определение 2. Совокупность пар значений x и , при которых функция существует (определена), называется областью определения.

Областью определения функции с двумя переменными является часть плоскости или вся плоскость.

Например, изобразите область определения функции .

Решение. Т. к. натуральный логарифм определён лишь для положительных чисел, имеем

.

Таким образом, область определения данной функции – это часть плоскости xOy, расположенная выше прямой (на рис. 1 эта область выделена красным цветом).

Рис. 1

Графиком функции является поверхность, проектируемая на плоскость xOy в область определения функции.

Например, графиком функции будет параболоид вращения, а область определения – круг на плоскости xOy с центром в начале координат и радиусом, где , (рис. 2)

Рис. 2

Определение 3. Пусть точка принадлежит области определения функции . Тогда функция называется непрерывной в точке , если

причём точка стремится к точке произвольным образом.

Частные производные функции двух переменных

На плоскости xOy выберём точку в окрестности, которой функция определена, зафиксируем значение y, а переменной x придадим приращение . Тогда,

- частное приращение функции z по x.

Аналогично,

- частное приращение функции z по y.

Определение 4. Частной производной по x функции называется производная по x , вычисленная в предположении, что y – постоянная, т. е.

.

Определение 5. Частной производной по y функции называется производная по y, вычисленная в предположении, что y – постоянная, т. е.

.

Данные производные также называются частными производными первого порядка.

При расчёте частных производных все правила вычисления производных и все табличные производные функции одной переменной сохраняют силу.

В качестве примера решим задачу отыскания частных производных функции .

Решение.

,

.

Частные производные высших порядков

В общем случае, если существуют первые частные производные и функции , то их также можно считать функциями от x и y, а значит можно говорить о производной от производной. Следовательно, можно говорить о частных производных второго, третьего и т. д. порядков. При этом при вычислении частных производных высших порядков содержание вышеописанного алгоритма отыскания частных производных функции сохраняется, а для записи, например, частных производных второго порядка используются следующие обозначения:

,

,

,

.

Две последние частные производные называются смешанными.

Теорема 1. Если функция и её частные производные , , и определены и непрерывны в точке и некоторой её окрестности, то в этой точке .

Пример. Найдите частные производные второго порядка функции .

Решение.

;

;

;

;

;

.

Последние два выражения наглядно подтверждают утверждение теоремы, то, что выражение смешанной частной производной не зависит от порядка дифференцирования: .

Экстремум функции нескольких переменных

Теорема 2. Если функция в точке имеет экстремум, то в этой точке либо обе её частные производные первого порядка равны нулю, т. е. , либо хотя бы одна из них не существует.

Точку в этом случае называют критической точкой.

Теорема 3. Пусть функция определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности критической точки .

Рассмотрим выражение

.

Тогда, если

1) и (или ) функция в точке имеет максимум; и (или ) функция в точке имеет минимум.

2) функция в точке не имеет экстремума.

3) вывод о наличии экстремума в точке сделать нельзя, т. е. данная точка может оказаться точкой экстремума, а может и не быть таковой.