Расчет статически неопределимых систем методом сил

Р а з д е л 6

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

(по материалам лекций 14-19)

6.2. Расчет статически неопределимых стержневых систем

на действие температуры

При изменении температуры элементов статически неопределимых систем в них возникают внутренние усилия и моменты. При равномерном нагревании всех элементов внутренне статически неопределимой системы дополнительных напряжений не возникает. Не возникают дополнительные усилия и во внешне статически неопределимых системах, когда температурное воздействие вызывает перемещение по направлению безусловно необходимых связей, в которых возникают статически определимые реакции. Так при равномерном нагревании неразрезной балки, имеющей одну неподвижную опору, температурная деформация происходит свободно и, поэтому дополнительных внутренних температурных усилий не будет.

Перемещения сечений системы получается суммированием перемещений от действия температуры и перемещений от лишних неизвестных в статически определимой (основной) системе, полученной из заданной системы. Однако соответствия между положением растянутых волокон и ординатами эпюры изгибающих моментов не будет.

В лекции 13 получена формула для определения перемещений сечения плоской рамы, содержащей только прямолинейные стержни постоянного сечения, при действии температурных воздействий:

где и – площади единичных эпюр и .

Задача 6.2.1. Определить горизонтальное и вертикальное перемещения угла С статически неопределимой рамы при изменении температуры по рис. 6.2.1. Высоту поперечного сечения принять h = a/10. Температурный коэффициент линейного расширения – α.

Решение. Определим степень статической неопределимости:

Л = 3Ку – Шз = 3·1 – 2 = 1,

то есть заданная рама – один раз статически неопределима при расчете ее по методу сил.

Каноническое уравнение метода сил при расчете один раз статически неопределимой рамы на действие температуры имеет вид

По эпюре (рис. 6.2.2, б) определяем δ11:

Определим температурное перемещение узла С основной системы (рис. 6.2.2, а) по направлению лишней неизвестной опорной реакции Х1, для чего построим предварительно эпюры и (рис. 6.2.2, б, в):

Перепишем каноническое уравнение:

откуда находим

Теперь можно построить эпюры Q и На рис. 6.2.3 представлены эпюры M, Q и N при b = a, то есть при X1 = 240αEI/a2.

По условию задачи требуется определить вертикальное и горизонтальное перемещения угла С рамы (рис. 6.2.1), поэтому построим две эпюры , (рис. 6.2.4) и , (рис. 6.2.5).

Перемножая эпюру М (рис. 6.2.3, а) на эпюру (рис. 6.2.4), и, складывая результат с температурным вертикальным перемещением основной системы (рис. 6.2.4), получим значение вертикального перемещения угла С заданной рамы:

Перемножая эпюру М (рис. 6.2.3, а) на эпюру (рис. 6.2.5), и, складывая результат с температурным горизонтальным перемещением основной системы (рис. 6.2.5), получим значение горизонтального перемещения угла С заданной рамы:

Для контроля можно вычислить горизонтальное перемещение шарнирно неподвижной опоры В и убедиться, что оно равно нулю.

Задача 6.2.2. Построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и нормальных сил для ломаного стержня постоянного поперечного сечения с жесткостью на изгиб EI, участок ВС которого подвержен температурному воздействию (рис. 6.2.6, а). Участок ВС ломаного стержня имеет высоту h.

Решение. Система – один раз статически неопределима. Отбрасывая горизонтальный опорный стержень на опоре D, получим основную систему (рис. 6.2.6, б). Для заданной системы каноническое уравнение метода сил будет иметь вид:

В направлении отброшенной горизонтальной связи прикладываем единичную силу X1 = 1 и строим эпюры изгибающих моментов и продольных сил (рис. 6.2.6, в, г).

Вычисляем коэффициенты канонического уравнения:

Определяем неизвестную опорную реакцию:

Определив Х1, легко построить все необходимые эпюры: Q, (рис.6.2.7).

Задача 6.2.3. Построить эпюры M, Q, N для статически неопределимой стальной рамы, подверженной действию горизонтальной сосредоточенной силы F = 1 кН и температурному воздействию (рис. 6.2.8, а). Стержни стальной рамы – постоянного симметричного поперечного сечения с осевым моментом инерции I = 198 см4 и высотой h = 10 см, температурный коэффициент линейного расширения стальных стержней α = 120·10–7 оС–1, модуль упругости Е = 2,06·105 Мпа.

Решение. Определяем степень статической неопределимости рамы при расчете ее методом сил:

Л = 3Ку – Шз = 3·1 – 1 = 2.

Таким образом, основная система получается отбрасыванием двух лишних связей. Действие отброшенных связей заменяем неизвестными усилиями Х1 и Х2. Направления сил Х1 и Х2 совпадают с направлениями отброшенных опорных реакций (рис. 6.2.8, б).

Строим эпюры изгибающих моментов и нормальных сил в основной системе от действия единичных сил Х1 = 1(рис. 6.2.8, в), Х2 = 1(рис. 6.2.8, г) и от внешней нагрузки (рис. 6.2.8, д).

При двух лишних неизвестных будем иметь систему 2-х канонических уравнений метода сил:

Используя правила Верещагина, вычисляем коэффициенты канонических уравнений, имея в виду, что EI = 407,88 кНм2:

Перепишем систему канонических уравнений после подстановки в них вычисленных значений коэффициентов:

Решая эту систему уравнений, находим: Х1 = –0,996 кН; Х2 = 0,565 кН.

Используя формулы

легко построить эпюры M, N, а затем и Q (рис. 6.2.9).