Выпуклый анализ

Российский Университет Дружбы народов Факультет физико-математических и естественных наук Кафедра нелинейного анализа и оптимизации

117198, Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, кк. 511-514,

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

Кафедра нелинейного анализа и оптимизации, факультет физико-математических и естественных наук.

Курс по выбору, лекции.

Объем учебной нагрузки: 34 час.

Цель курса

Знакомство со свойствами выпуклых функций и выпуклых множеств, основами теории двойственности и теории отделимости выпуклых множеств. Освоение их применения к различным прикладным задачам, в том числе к теории экстремума и математической экономики.

Содержание курса

Тема 1. Выпуклые множества

Определение выпуклого множества, типичные примеры: шар, гиперплоскость, полупространство, аффинное множество, симплекс. Основные свойства выпуклых множеств. Область сходимости степенного ряда.

Тема 2. Алгебра выпуклых множеств

Операции с выпуклыми множествами: сумма, пересечение, разность, инверсия. Примеры: суммы и разности кубов и шаров. Основные свойства операций с выпуклыми множествами.

Тема 3. Выпуклые комбинации

Определения понятий выпуклой комбинации точек, аффинной комбинации точек, линейной комбинации точек. Критерий выпуклости множества. Определение выпуклой оболочки. Выпуклые комбинации. Теорема Каратеодори. Теоремы Радона и Хелли.

Тема 4. Топологические свойства выпуклых множеств

Топологические свойства выпуклых множеств, размерность, относительная внутренность.

Тема 5. Выпуклые функции и их свойства

Понятия эффективного множества и надграфика функции. Определения выпуклой и вогнутой функций. Примеры выпуклых функций: аффинная функция, норма, неотрицательно определенная квадратичная форма, индикаторная функция выпуклого множества. Свойства выпуклых функций и операции над ними. Эквивалентность определений выпуклой функции в терминах надграфика и неравенства Йенсена. Критерий выпуклости дифференцирумых функций.

Тема 6. Функция Минковского выпуклого множества

Определение функции Минковского выпуклого множества. Свойства функции: положительная однородность, выпуклость, монотонное убывание как функции множества, полунепрерывность снизу. Примеры функции Минковского для шара и куба.

Тема 7. Опорные функции и сопряженные конуса

Определение опорной функции. Свойства опорной функции: положительная однородность, выпуклость, полунепрерывность снизу. Свойство опорной функции для ограниченного множества. Примеры вычисления опорной функции. Сопряженные конуса и их свойства.

Тема 8. Крайние точки

Крайние точки. Теорема Крейна-Мильмана.

Тема 9. Теоремы отделимости

Теорема Хана-Банаха. Определения отделимости, строгой отделимости и сильной отделимости выпуклых множеств для банаховых пространств. Понятие опрной гиперплоскости. Теоремы об отделимости, строгой отделимости, сильной отделимости.

Тема 10. Сопряженные функции

Определение сопряженной функции, примеры вычислений. Определение инфимальной конволюции. Свойства сопряженных функций: представление сопряженной функции от суммы функций, представление сопряженной функции от инфимальной конволюции функций. Теорема Фенхеля-Моро.

Тема 11. Субдифференциал и его свойства

Определение субградиента выпуклой функции, его связь с сопряженным пространством. Определение субдифференциала, примеры вычислений для нормы, положительно однородной функции, индикаторной функции выпуклого множества, опорной функции. Свойства субдифференциала. Теорема Моро-Рокафеллара. Теорема Дубовицкого-Милютина.

Тема 12. Экстремальные задачи

Постановка задачи на условный экстремум выпуклой функции. Необходимые и достаточные условия точки, являющейся решением экстремальной задачи. Постановка задачи выпуклого программирования. Правило множителей Лагранжа для задачи выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера.