Практические занятия

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

?? Какие уравнения называются линейными и что такое система линейных уравнений?

Что называется решением системы линейных уравнений?

Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

Как называются системы линейных уравнений в зависимости от количества решений?

Какие методы используют для решения систем линейных уравнений? Каковы условия применения этих методов?

Что такое определитель матрицы? Изобразите схему вычисления определителей матриц второго и третьего порядков.

В чем основная суть метода Гаусса?

Какие элементарные преобразования системы уравнений не меняют ее решений?

Какой окончательный вид может иметь матрица коэффициентов системы линейных уравнений в результате использования метода Гаусса? Как по окончательному виду матрицы определить решения системы и их количество?

Задания для занятия

Решите следующие системы линейных уравнений, используя формулы Крамера:

1. 2.

Решите следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

3. 4. 5.

6. 7.

Домашнее задание к занятию «Системы линейных уравнений»

Решите следующие системы линейных уравнений двумя способами,
используя формулы Крамера и метод Гаусса:

8. 9.

Решите следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

10. 11. 12.

Ответы к занятию

1. (1; -3). 5-6. Нет решений.

2. (-2; 0; 4). 7. Бесконечно много решений, решения

3. (-7; 8; -6). имеют вид: (0,2z + 3,4; 0,4z-0,2; z), z Î R.

4. .

Ответы к домашнему заданию

8. . 11. Нет решений.

9. (2; -1; 3). 12. Бесконечно много решений, решения

10. (0,6; -1,7; 0,7). имеют вид (-1,5у – 4; у; 8 + 3,5у), у Î R.

КООРДИНАТЫ ТОЧЕК И ВЕКТОРЫ

?? Что такое прямоугольная система координат на плоскости?

Сколько координат должна иметь точка на плоскости (в пространстве)?

Как определить расстояние между двумя точками, заданными своими координатами? Чем отличаются формулы для точек, заданных на плоскости и в пространстве?

Какому условию должны удовлетворять координаты вершин треугольника АВС, чтобы от был прямоугольным с прямым углом при вершине С?

Как определяются координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, если известны координаты концов отрезка?

Задания для занятия

1. Даны координаты двух смежных вершин А и В квадрата АВСD: А(а; 0) и В(0; а). Найдите координаты остальных вершин квадрата.

Сколько решений имеет задача?

2. Даны две смежные вершины параллелограмма АВСD: А(–1; 3) и В(2; 1). Найдите координаты двух других вершин параллелограмма, если известно, что диагональ АС параллельна оси Ох, а диагональ ВD параллельна оси Оу.

3. Треугольник задан координатами своих вершин: А(1; 0; –1), В(3; 2; 0) и С(–2; 4; 3). Является ли данный треугольник прямоугольным; равнобедренным?

?? Что такое вектор?

Какие линейные операции можно выполнять с векторами? Объясните геометрический смысл этих операций и их координатную форму записи.

Какие векторы называются коллинеарными? Какому условию удовлетворяют координаты коллинеарных векторов?

Что называется скалярным, векторным и смешанным произведением векторов? (Сколько векторов необходимо для выполнения этих операций? Что является результатом? В чем геометрический смысл каждой операции?)

Какой вывод следует сделать, если скалярное (векторное, смешанное) произведение векторов равно нулю?

Задания для занятия

4. Векторы и служат диагоналями параллелограмма АВСD. Выразите векторы и через векторы и .

5. Точки К и М служат серединами сторон АВ и CD выпуклого четырехугольника АВСD. Выразите вектор через векторы и .

6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(1; 1), В(5; 4) и С(13; –2). Определите координаты и длины векторов , и , где АМ – медиана, BD – биссектриса и СН – высота треугольника АВС.

7. Одна из вершин параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 находится в точке А(1; 2; 3), а концы выходящих из нее ребер – в точках В(9; 6; 4), D(3; 0; 4) и А1(5; 2; 6). Найдите:

а) длину диагонали АС1 этого параллелепипеда;

б) угол, образуемый этой диагональю с ребром АВ;

в) объем параллелепипеда;

г) площадь основания АВСD и высоту параллелепипеда, опущенную на это основание.

Домашнее задание к занятию «Координаты точек и векторы»

8. Четырехугольник задан координатами своих вершин: А(0; 0), В(0; 4), С(2; 4) и
D(7; 0). Можно ли в него вписать окружность?

Примечание. Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

9. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите ее длину, если известны координаты вершин треугольника: А(5; –4), В(-1; 2) и С(5; 1).

10. Вычислите площадь квадрата, две смежные вершины которого А(3; –7) и В(–1; 4).

11. Найдите координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении 3 : 2, считая от вершины А, если А(–2; 1), В(8; 6).

12. Однажды Лебедь, Рак и Щука …

Воз расположен в точке О пересечения медиан треугольника АВС, а Лебедь, Рак и Щука – в вершинах треугольника. Определите суммарное воздействие на воз, т. е. .

13. Лежат ли точки А(2; 4; 1), В(3; 7; 5) и С(4; 10; 9) на одной прямой?

Указание. I способ. Используйте условие коллинеарности векторов.

II способ. Сравните расстояния АВ, ВС и АС.

14. В треугольнике АВС известно: (3; –4) и (1; 5). Вычислите длину высоты СН этого треугольника.

Указание. С помощью векторного произведения векторов определите площадь треугольника, а затем воспользуйтесь формулой площади треугольника, которая выражается через высоту.

15. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(1; 1), В(5; 4) и С(13; –2) – условия задачи 6 (см. выше). Вычислите площадь треугольника АВС различными способами:

а) с помощью основания и высоты (используйте результат задачи 6);

б) с помощью формулы ;

в) с помощью формулы Герона;

г) с помощью векторного произведения.

16. Зная одну из вершин треугольника АВС А(2; –5; 3) и векторы, совпадающие с двумя его сторонами (4; 1; 2) и (3; –2; 5), найдите координаты остальных вершин треугольника и вектор .

Указание. Используйте формулу определения координат вектора по координатам его начала и конца.

17. Будут ли компланарны векторы и :

а) , (7; –18; 2);

б) , (3; 1; –1)?

Указание. Используйте условие компланарности векторов (равенство нулю смешанного произведения векторов).

Ответы к занятию

1. С(2а; а), D(a; 2a) или С(0; –а), D(–а; 0).

2. С(5; 3), D(2; 5).

3. Треугольник не является ни прямоугольным, ни равнобедренным.

4. , .

5. .

6. (8; 0), АМ = 8; (0; –4), BD = 4; (-5,76; 7,68), СН = 9,6.

7. а) АС1 = 15; б) ; в) V = 48; г) SABCD = , Н = .

Ответы к домашнему заданию

8. Нельзя.

9. АМ = .

10. 137.

11. С(4; 4).

12. = .

13. Точки А, В и С лежат на одной прямой, так как векторы и коллинеарны.

В этом же можно убедиться, если проверить, что АС = АВ + ВС.

14. SD = 9,5; СН = 3,8.

15. SD = 15; в случае б) найдите сначала , используя скалярное произведение векторов.

16. В(6; –4; 5), С(9; –6; 10), (-7; 1; –7).

17. а) векторы компланарны; б) векторы не компланарны.

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

?? Как может быть задана прямая на плоскости? Какие виды уравнений прямой на плоскости при этом могут быть получены?

Каким может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости?

Какие уравнения будут иметь параллельные прямые, если они заданы:

·  уравнением с угловым коэффициентом;

·  общим уравнением?

Как определить расстояние:

·  от точки до прямой на плоскости;

·  от точки до плоскости в пространстве?

Как может быть задана прямая на плоскости? Какие виды уравнений прямой на плоскости при этом могут быть получены?

Укажите условия параллельности, пересечения (в частности перпендикулярности) и скрещивания двух прямых в пространстве, если они заданы каноническими уравнениями.

Как может быть задана плоскость в пространстве? Какие виды уравнений плоскости при этом могут быть получены?

Каким может быть взаимное расположение двух плоскостей в пространстве? Определите условия для различных случаев расположения двух плоскостей, заданных общими уравнениями.

С помощью какой операции можно определять углы (между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями)?

Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве? Укажите условия для различных случаев расположения, если прямая задана каноническим уравнением, а плоскость – общим уравнением.

Задания для занятия

1. Запишите уравнение прямой на плоскости в виде ах + by + c = 0, если:

а) угловой коэффициент прямой равен 3, а отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, равен 4;

б) угловой коэффициент прямой равен –5, точка (2; 3) принадлежит прямой;

в) прямая проходит через точку (3; –2) и параллельна оси ординат;

г) прямая проходит через точку (3; –5) и параллельна вектору (–4; 2);

д) прямая проходит через точки (2; 3) и (–4; –6);

е) прямая отсекает на оси абсцисс отрезок 3, а на оси ординат отрезок –5.

2. Даны координаты вершин треугольника: А(4; 6), В(–4; 0) и С(–1; –4).

а) Составьте уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

б) Найдите длину этой высоты.

Указание. Используйте общее уравнение прямой ВС.

3. Запишите уравнения параллельной и перпендикулярной прямых по отношению к прямой 5х + 2у – 3 = 0, если обе эти прямые проходят через точку (1; –4).

4. Установите в каждом из случаев: лежит ли данная прямая в плоскости; параллельна плоскости (при этом определите расстояние между прямой и плоскостью) или прямая пересекает плоскость (при этом определите точку пересечения и выясните, будет ли прямая перпендикулярна плоскости):

прямая плоскость

а) и 3х + 5у – z – 2 = 0;

б) и 3х – 3у + 2z – 5 = 0;

в) и х + 2у – 4z + 1 = 0.

5. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки (1; 2; 3) и (4; 5; 7) и перпендикулярной к плоскости х – у + 2z – 4 = 0.

Указание. Используйте общее уравнение плоскости в пространстве; для определения коэффициентов этого уравнения решите систему линейных уравнений.

Домашнее задание к занятию «Прямые и плоскости»

6. Дан треугольник АВС: А(–2; 3), В(4; 1) и С(6; –5). Запишите общее уравнение прямой, содержащей медиану треугольника, проведенной из вершины А.

7. Запишите общее уравнение прямой, параллельной прямой 2х + 5у = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5. Система координат при этом прямоугольная.

Указание. Используйте формулу площади прямоугольного треугольника; для этого запишите в общем виде искомое уравнение прямой и через его коэффициенты определите координаты точек пересечения прямой с осями координат (можно воспользоваться уравнением прямой в отрезках).

8. Составьте уравнения прямых, параллельных прямой 5х + 12у – 1 = 0 и отстоящих от нее на расстоянии 5.

Указание. Используйте формулу расстояния между точкой и плоскостью.

9. Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми: 12х – 16у – 48 = 0 и
3х – 4у + 43 = 0.

Указание. Используйте формулу расстояния между точкой и плоскостью.

10. Установите, лежит ли данная прямая в плоскости; параллельна плоскости (при этом определите расстояние между прямой и плоскостью) или прямая пересекает плоскость (при этом определите точку пересечения и выясните, будет ли прямая перпендикулярна плоскости):

прямая плоскость

и 3х – у + 2z – 5 = 0.

Ответы к занятию

1. а) 3х – у + 4 = 0; г) х + 2у + 7 = 0;

б) 5х + у – 13 = 0; д) 3х – 2у = 0;

в) х – 3 = 0; е) 5х – 3у – 15 = 0.

2. 3х – 4у + 12 = 0; h = 10.

3. Параллельная прямая: 5х + 2у + 3 = 0;

перпендикулярная прямая: 2х – 5у – 22 = 0.

4. а) Прямая пересекает плоскость в точке (0; 0; –2), при этом прямая не перпендикулярна плоскости.

б) Прямая параллельна плоскости и расстояние между ними равно .

в) Прямая лежит в плоскости.

5. 5х – у – 3z + 6 = 0.

Ответы к домашнему заданию

6. 5х + 7у – 11 = 0.

7. Возможны две таких прямых, их уравнения имеют вид: 2х + 5у ± 10 = 0.

8. 5х + 12у + 64 = 0 и 5х + 12у – 66 = 0.

9. d = 11.

10. Прямая пересекает плоскость в точке (2; 3; 1), при этом прямая не перпендикулярна плоскости.