Вариант 0

Представить заданную функцию , где , в виде ; проверить является ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в заданной точке

а), ,

b),

Решение. а) Выделим действительную и мнимую часть функции

. Действительная часть и мнимая этой функции таковы:

и . Проверим, является ли функция аналитической. Найдем частные производные функций и по х и по у, убедимся в их непрерывности в интересующей точке, а затем проверить, выполняются ли в этой точке условия Коши - Римана . Частные производные непрерывны на всей плоскости. Теперь найдем точки, в которых выполняются условия Коши-Римана. Получаем систему: . Условия Коши – Римана выполняются во всех точках плоскости, а значит функция аналитическая. Найдем производную в заданной точке .

b) Выделим действительную и мнимую часть функции

. Действительная часть и мнимая этой функции таковы:

и . Проверим, является ли функция аналитической. Найдем частные производные функций и по х и по у, убедимся в их непрерывности в интересующей точке, а затем проверить, выполняются ли в этой точке условия Коши - Римана .

Частные производные непрерывны на всей плоскости. Теперь найдем точки, в которых выполняются условия Коши-Римана.

Получаем верные равенства: .

()

Условия Коши – Римана выполняются во всех точках плоскости, а значит функция аналитическая. Найдем производную в заданной точке .

(+

+ ( )) 0

Ответ: а) , b) 0

Вычислить: а), b)

Решение. а)

Воспользуемся формулой

b)

Воспользуемся формулами ,

Ответ: а), b)

Найти множество точек комплексной плоскости, заданных неравенством.

Решение. Сначала найдем множество таких точек, для которых имеет место равенство , Перепишем данное уравнение в виде , где . Откуда находим: . Возведем обе части в квадрат

, , , , .

Это множество представляет собой окружность, которая разбивает плоскость на две области и (внутренность, и внешность соответствующего круга). Для выяснения знака неравенства возьмем в области , точку , а в области , точку .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Так как , а , то заключаем, что искомое множество есть открытый круг радиуса с центром в точке

Ответ: открытый круг радиуса с центром в точке

Проверить является ли функция гармонической

Решение. Проверим, является ли функция гармонической

, , , . Подставляя в дифференциальное уравнение Лапласа , устанавливаем , следовательно, является гармонической функцией.

Ответ: гармоническая функция.

Восстановить аналитическую функцию , где , в виде по ее мнимой части

Решение. Требуется найти действительную часть искомой аналитической функции . Проверим, является ли функция гармонической (в противном случае она не может быть мнимой частью аналитической функции)

, ,, Подставляя в дифференциальное уравнение Лапласа , устанавливаем , следовательно, является гармонической функцией на всей плоскости. Определим теперь , пользуясь тем, что и - сопряженные гармонические функции. Т. е. они, связаны условиями Коши - Римана, тогда .

Будем искать функцию в виде . Здесь интегрирование производится по переменной х; у выполняет роль параметра. - неизвестная функция, зависящая только от у, но не от х. Подберем функцию, так чтобы выполнялось еще и условие. Получаем , следовательно

, тогда , ,

. Придавая с произвольное действительное значения, получаем бесконечное множество аналитических функций с заданной мнимой частью

Ответ: или

Образец решения и оформления контрольной работы

Вариант 0

Вычислить , где полуокружность

Решение. 1 способ. Кривая С представлена , или , . Используем формулу , имеем:

2 способ. Кривая С представлена , или , . Используем формулу , где комплексно параметрическое уравнение кривой С, имеем:

Ответ , где полуокружность

Разложить в ряд Лорана по степеням функцию в области

Решение. Представим функцию в виде

В круге имеем следующее разложение:

, (здесь, , т. е. )

, (здесь, , т. е. ).

Следовательно, . Ряд Лорана функции обращается в ряд Тейлора.

Ответ:

Определить характер особых точек для функций а), b)

Решение. а). Особыми точками функции являются, и . Найдем пределы функции при и при , тогда получаем:

. Следовательно, точка является полюсом. Аналогично определяем тип для второй особой точки. . Следовательно, точка является полюсом. Определим их порядок , , то точка есть полюс m-го порядка.

Следовательно, точка является простым полюсом.

Следовательно, точка является полюсом второго порядка.

b). Особой точкой функции является, . В окрестности этой точки функция имеет следующее лорановское разложение: . Если вдоль положительной части действительной оси, то ; если вдоль отрицательной части действительной оси, то . Т. о. в этой точке функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела, следовательно, точка является существенно особой точкой.

Ответ: а) точка является простым полюсом, точка является полюсом второго порядка. b) точка является существенно особой точкой

Найти вычеты функции а) , b)

Решение. а) , так как - полюс третьего порядка, то используем формулу ,

b) , - полюс второго порядка, так как является конечной величиной. Тогда

Ответ: а) , b)

Вычислите интеграл по замкнутому контуру , где

Решение. 1 способ.

Функцию представим в виде .

На рисунке представлена область, ограниченная контуром интегрирования. В этой области находится точка , в которой знаменатель подынтегральной функции равен нулю. Перепишем интеграл в виде .

Функция является аналитической в данной области. Применим интегральную формулу Коши, находим:

2способ. Используем применение вычетов в вычислении интегралов. Функция имеет в круге простой полюс Применим формулы: и . Получаем:

Ответ: