УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
,
Для очной формы обучения ВСЕГО 72
лекции 26
семинары 8
Всего аудиторных занятий 34
самостоятельная работа 38
Требования ГОС к обязательному минимуму содержания основной
Линейные, топологические и нормированные пространства; пространства непрерывных и суммируемых функций; гильбертово пространство; категорный метод; теория двойственности.
Целью изучения дисциплины является знакомство с основными понятиями, положениями и методами функционального анализа, получение навыков построения математических доказательств путем логически непротиворечивых рассуждений, с широким использованием идей двойственности и выпуклости, уже рассматривавшихся в рамках курсов алгебры и геометрии и топологии за первый-третий семестры, навыков решения прикладных задач.
Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения курса: в объёме программы «Математика» за первый-третий семестры.
В результате изучения дисциплины каждый студент должен:
- иметь представление о:
· месте и огромной роли функционального анализа в современном мире, мировой культуре и истории развития самой математики;
· функциональном мышлении, о развитии идей двойственности и выпуклости и принципе неподвижной точки и основанных на нем математических доказательствах;
· структуре современного анализа; об основных проблемах современного его развития (обобщённые функции, гиперфункции).
- знать:
· базовые понятия и свойства функциональных пространств: гильбертова, банаховых, лебеговых, пространств обобщённых функций;
· теории положительных на конусе полугрупп.
- уметь:
· линейной алгебры и классического математического анализа (неравенства, полнота и замкнутость систем функций, метод наименьших квадратов);
· дифференциального и интегрального исчислений функций многих переменных (описание экстремумов и более общо – критических точек);
· теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уметь находить условия существования решения основных типов дифференциальных уравнений и систем, включая в рассмотрение первую и вторую вариации;
· в теории линейных операторов в линейных и, в частности, в евклидовых пространствах (решения уравнений как неподвижные точки).
Основные виды занятий: лекции и практические занятия.
Основные виды текущего контроля занятий: коллоквиумы.
Основной вид рубежного контроля знаний: зачет.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Введение.
Тема 1. Множества
Множества (операции над множествами; мощность; счётные и континуальные множества). Более подробно: множества, их объединение, пересечение, дополнение, разность и симметрическая разность; мощности: конечные счётная континуальная – кардиналы; порядковые типы – ординалы – конечные, א(алеф)-0, אּ(алеф)-1, … принципы индукции: полной математической и трансфинитной.
Тема 2. Метрические пространства
Метрические пространства (основные понятия, примеры; открытые и замкнутые множества; сепарабельность). Более подробно: Определение, примеры и построение новых м. п. из уже имеющихся. Критерий полноты.
Тема 3. Полные метрические пространства
Полные метрические пространства. Принцип сжатых отображений. Более подробно: Пополнение м. п. Применение полных м. п., основанное на принципе Банаха о неподвижной точке. Предкомпактные множества в м. п., их связь с ограниченными и конечными множествами.
Тема 4. Компактность в метрических пространствах
Компактность в метрических пространствах (критерий Хаусдорфа, непрерывные функции на компактах; теорема Арцела). Более подробно: Критерий Хаусдорфа, использующий понятие 
- сети. Свойства непрерывных функционалов на компакте. Теорема Арцела и критерий предкомпактности в 
- пространствах. Сепарабельность м. п. и подпространств. Теоремы Тихонова и Чеха-Стоуна.
Тема 5. Линейные нормированные пространства
Линейные нормированные пространства. Изоморфизм и изометрия. Задача о наилучшем приближении. Более подробно: Определение, примеры ЛНП, банаховы пространства. Норма линейного оператора, процедура ее поиска. Пространство линейных непрерывных (ограниченных) операторов, случай его полноты. Теорема о ближайшем элементе, разложение в прямую сумму подпростантсв; поиск сопряженного пространства.
Тема 6. Линейные функционалы
Линейные функционалы (основные понятия, примеры; сопряжённое пространство; теорема о продолжении). Более подробно: Основные теоремы функционального анализа: Хана – Банаха, Банаха – Штейнгауза и теорема Банаха об изоморфизме. Случай некоторых конкретных ЛНП, общий вид линейных непрерывных функционалов в них. Теория Рисса для линейных уравнений с компактным оператором.
Тема 7. Слабая сходимость в сопряжённом пространстве
Слабая сходимость в сопряжённом пространстве. Более подробно: Полнота сопряженного пространства. Общие свойства сопряженных пространств. Теорема отождествления и теорема замкнутости подпространств. Определения, примеры и признаки слабой сходимости последовательности элементов в ЛНП. Критерий Банаха – Штейнгауза. Признаки конечномерности ЛНП и компактности линейного оператора. Понятие, свойства и применение сопряженного оператора в проблеме разрешимости линейных уравнений.
Тема 8. Гильбертово пространство
Гильбертово пространство (основные понятия; задача о наилучшем приближении и теорема об ортогональном дополнении; общий вид линейного функционала). Более подробно: Признаки обратимости и понятие спектра компактного оператора. Определение, примеры и свойства самосопряженного оператора на Гильбертовом пространстве; свойства его спектра. Теорема Гильберта – Шмидта, применение.
Тема 9. Ортонормальные системы в гильбертовых пространствах
Ортонормальные системы в гильбертовых пространствах. Процесс ортогонализации. Полнота и замкнутость. Теорема о разложении в ряд Фурье. Изоморфизм гильбертовых пространств. Более подробно: Гильбертовы пространства, аксиоматика, примеры, ряды Фурье по ортонормальным системам (ОНС). Полные ОНС, их роль в получении классификации сепарабельных гильбертовых пространств. Биортогональные системы Чебышева, альтернатива Фредгольма.
Тема 10. Задачи вариационного исчисления
Постановка и примеры задач вариационного исчисления. Дифференцируемые функционалы. Необходимое условие экстремума. Простейшая задача вариационного исчисления.
Тема 11. Задача со свободными концами
Задача со свободными концами. Функционалы от вектор-функций. Принцип Гамильтона. Вариационный вывод уравнения колебаний. Исследование квадратичного функционала. Вторая вариация и условие экстремума.
Тема 12. Свойства выпуклых и поглощающих множеств векторных пространств
Свойства выпуклых и поглощающих множеств векторных пространств. Функционал Минковского и его свойства. Дальнейшие свойства линейных функционалов. Гиперплоскости и нестрогое отделение выпуклых множеств гиперплоскостями. Свойства компактов, являющихся выпуклыми множествами. Теорема строгой отделимости; частный случай конечномерных пространств.
Темы семинарских занятий.
1. Счётные и континуальные множества.
2. Метрические пространства. Свойства метрик.
3. Компактность.
4. Нормированные пространства. Линейные функционалы.
5. Гильбертово пространство.
6. Простейшая вариационная задача.
7. Заключительное занятие.
ЛИТЕРАТУРА
Основная:
1. , . Элементы теории функций и функционального анализа. М: «Наука», любое издание.
2. , . Элементы функционального анализа. М: «Наука», 1965, 520с.
3. , , . Задачи и упражнения по функциональному анализу. М: «Наука», 1984, 256с.
Дополнительная:
1. . Теория операторов. М: изд. МГУ, 1979, 296с.
2. , . Функциональный анализ. М: «Наука», 1977, 744с.
3. К. Иосида. Функциональный анализ. М.: «Мир», 1967, 624с.
4. П. Халмош. Гильбертово пространство в задачах. М: «Мир», 1970, 352с.
5. , . Теоремы и задачи функционального анализа. М: «Наука», 1977, 384с.
6. СМБ – Функциональный анализ. – Под общей редакцией , М: «Наука», 1977, 744с.
7. Н. Данфорд, Дж. Т.Шварц. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962
8. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: «Наука», 1966.
9. . Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. Труды МИАН СССР им. , 1961, т.61.
10. . Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматлит, 1962.
11. Э. Хилле, Р. Филлипс. Функциональный анализ и полугруппы. М: «Мир», 1972, 744с.
12. Т. Като. Теория возмущений линейных операторов. М: «Мир», 1972, 552с.
13. . Сборник задач и теорем по ТФДП. М.: «Просвещение», 1965.
14. . О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра.– Труды МИАН СССР им. , 1964, т.73, сс.292-313.
