Школьные олимпиады 9 класс.
Вариант 1
1. Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 91, которые после вычеркивания этих цифр уменьшаются в целое число раз.
2. Решите систему уравнений 
3. постройте графики уравнений | y | + y + | x | + x = 6; x + y + 3 = 0 и найдите площадь полученной фигуры.
4. Упростить 
.
5. Найти угол В в треугольнике АВС, если известно, что высоты, выходящие из А и С, пересекаются внутри треугольника и одна из них делится точкой пересечения на равные части, а другая в отношении 2 : 1, считая от вершины.
6. На участке трамвайного пути длиной в 1 км пешеход, проходящий этот участок в течение 12 минут, ежедневно подсчитывает число трамваев, его обгоняющих и встречных. В течение года первых оказалось 225, вторых – 600. Определить скорость трамвая.
Вариант 2
1. Найти, при каких значениях а система уравнений имеет четыре решения?
2. Найти два трехзначных числа, зная, что их сумма кратна 498, а частное кратно 5.
3. За весну Обломов похудел на 25 %, затем за лето прибавил в весе 20 %, за осень похудел на 10 %, а за зиму прибавил 20 %. Похудел ли он или поправился за год?
4. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника, а также продолжений его обоих катетов, имеет радиус 25 см. Найдите периметр треугольника.
5. Один рабочий может выполнить работу за 4 часа, а другой – за 6 часов. Сколько должен работать третий рабочий, чтобы сделать эту работу, если его производительность равна средней первых двух?
6. Построить график уравнения:
2x2 + 4x + 2y2 – 4y – 5 (x + 1) ∙ (y – 1) + 4 = 0.
Вариант 3.
1. Полторы курицы за полтора дня снесли полтора яйца. Сколько снесет дюжина куриц за 12 дней?
2. Решить уравнение (x2 – x – 1)2 – x3 = 5.
3. Найти значение выражения:
.
4. В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований трапеции, а угол между диагоналями равен 60°. Доказать, что трапеция равнобедренная.
5. В уравнении x2 – ax + a – 1 = 0, где а – действительное число, найдите а, при котором 
принимает наименьшее значение.
6. Легковой автомобиль и грузовик испытывали на проселочной дороге. При этом легковой автомобиль проехал на 12 км больше, чем грузовик, но бензин у него кончился на 0,5 часа раньше. Какая машина проедет дальше и на сколько при той же заправке по асфальтовой дороге, если скорость на асфальте на 16 км/ч больше, чем по проселку (время расхода бензина не зависит от качества дороги)?
Вариант 4
1. Решите систему уравнений 
2. Найдите все значения а, при которых неравенство
(a – 2) ∙ (x2 + 2x) ≥ 4 не выполняется ни при каком х.
3. Пешеход прошел 
моста и услышал звук подъезжающего к мосту автомобиля. Если он побежит назад, то достигнет начала моста одновременно с автомобилем. Если он побежит вперед, то будет у конца моста также одновременно с автомобилем. с какой скоростью бежит пешеход, если скорость автомобиля 60 км/ч?
4. В пересечении двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 см и 6 см. Найдите радиус окружности.
5. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению: x2 – xy – 2x + 3y = 11.
6. Найдите четыре последовательных натуральных числа, произведение которых равно 1680.
Вариант 5
1. Сравните 12723 и 51318.
2. Два поезда движутся друг другу навстречу по параллельным путям – один со скоростью 60 км/ч, а другой 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него в течение 6 с. Какова длина первого поезда?
3. Решите систему уравнений: 
4. Докажите, что если а, b, c – длины сторон треугольника, то уравнение b2x2 + (b2 + c2 – a2) ∙ x + c2 = 0 не имеет действительных корней.
5. Найти значение выражения:
x при х = 2005.
6. В трапеции ABCD: AD = 30, BC = 20, AB = 6, CD = 8 (AD, BC – основания). Найти радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD.
