Решения задач (стр. 1 )

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Общие замечания по проверке.

Критерии написаны на основании «приведенного» к задаче решения.

В случае «другого» решения нужно выработать другие критерии в соответствии с общими требованиями к критериям.

7 класс

1. Таня пошла покупать ручки и карандаши. Целиком потратив деньги, она могла купить 6 ручек или 12 карандашей. Она решила на все деньги купить и того и другого поровну. Сколько?

Ответ: 4.

Решение.

Одна ручка стоит как два карандаша, а ручка и карандаш – как три карандаша. Поэтому Таня может купить 12:3=4 комплекта из ручки и карандаша.

Критерии проверки.

Ответ, обоснованный конкретным числовым примером: 1 балл

2. Близняшки Аня, Маня и Таня испекли на день рождения пирожные. Если бы Аня и Маня испекли в два раза больше пирожных, то общее число пирожных увеличилось бы на 60%. Какую долю пирожных в процентах испекла Таня?

Решение. Если бы Таня напекла пирожных тоже в два раза больше, то всех пирожных увеличилось бы на 100 %. Доля Ани и Мани 60%, значит доля Тани: 100%-60%=40% .

Критерии проверки.

Нет разумных продвижений, но есть ответ: 0 баллов

Рассмотрен частный случай: 1 балл.

Есть действие 100%-60%, но не сделано предположение про Таню: 2 балла

Наличие всех деталей в решении: 7 баллов.

3. На доске были записаны четыре натуральных числа. Сложив их всевозможными различными способами по два, Петя получил следующие шесть сумм: 17, 18, 20, 21, 23, 26. Докажите, что Петя ошибся при вычислении сумм.

Решение. Сумма всех шести попарных сумм равна 125. Каждое из записанных на доске чисел входит в эту сумму три раза, значит, эта сумма должна быть кратна 3, но 125 на 3 не делится.

Критерии проверки:

Найдена сумма всех попарных сумм, равная 125: 1 балл.

Указано, что каждое число в качестве слагаемого используется три раза: 2 балла.

Высказаны оба предыдущих утверждения: 3 балла

Замечено, что раз каждое число является слагаемым три раза, то сумма должна делится на 3, но вывод о том, что пришли к противоречию не сделан: 6 баллов.

Наличие всех деталей в решении: 7 баллов.

2 способ. Расположим написанные числа в порядке неубывания: a£b£c£d. Тогда

a+b=17, a+c=18, b+d=23, c+d=26. 18+23=a+b+c+d=17+26. (либо 26–23=c–b=18–17 ) Получили противоречие, следовательно, была ошибка в вычислениях.

Это решение приведено для демонстрации того факта, что условие «числа натуральные» лишнее. Оно для обучения детей другому подходу к задаче (методу крайнего).

4. У Пети имеется прямоугольник 5×7 и квадратик 1×1. Может ли Петя разрезать этот прямоугольник на 2 части, не являющиеся прямоугольниками, а потом из этих двух частей и данного квадратика 1×1 сложить квадрат 6×6? (Если возможно, то должно быть показано, как разрезан прямоугольник и как составлен квадрат. Либо объяснено, почему это невозможно.)

Ответ. Может.

Указано несколько разрезаний прямоугольника и сборки квадрата.

(Есть ещё и другие решения.)

Рисунок 1

Рисунок 2.

Рисунок 3

Рисунок 4.

Критерии проверки:

Если разрезание есть, но рисунок только один, то есть, показано, как собрать или как разрезать: 4 балла.

5. Шесть друзей: Андрей, Витя, Боря, Саша, Толя и Гена, - выстроились в ряд в порядке убывания их роста (среди них нет имеющих одинаковый рост). Затем Гена и Андрей поменялись местами, Боря и Витя также поменялись местами и, наконец, Саша и Толя тоже поменялись местами. Оказалось, что теперь мальчики стоят в порядке возрастания их роста. Найдите самого высокого среди мальчиков, если известно, что Боря выше Андрея и Гены, но ниже Саши.

Решение. Поскольку после всех перестановок ребята выстроились в противоположном порядке, то самый высокий и самый маленький поменялись местами (1). В эту пару не могут входить Андрей и Гена: они оба ниже Бори (2). В эту пару не может входить Боря. Он ниже Саши, но выше Андрея - значит он не самый высокий и не самый низкий (3). Осталась одна пара: Саша и Толя. Саша выше Бори и самым низким быть не может (4). Значит, самый высокий Саша, а самый низкий Толя.

Критерии проверки:

Указан только верный ответ: 1 балл.

Есть первое утверждение (1) : 2 балла.

Есть утверждения (1) и (2): 3 балла.

Есть утверждения (1) и (2) и (3): 6 баллов.

Есть все утверждения: 7 баллов.

6. На полоске 1´20 на 10 левых полях стоят 10 шашек. Шашка может ходить на соседнюю справа свободную клетку или перепрыгнуть через соседнюю справа шашку на следующую за ней клетку, если эта клетка свободна. Движение влево не разрешается. Можно ли все шашки переставить подряд без пробелов в обратном порядке?

Решение. Занумеруем шашки числами 1,2,3,…,9,10.

Пример перестановок. Перемещения состоят из двух частей: перемещение нечётных (разборка) и перемещение чётных (сборка).

Критерии проверки:

Указаны все перестановки: 7 баллов.

Указано начало и конец, но есть многоточие. 6 баллов.

Указано начало разборки и далее сказано: аналогично - 3 балла, то есть, нет сборки.

Если она тоже есть, но есть пропуск ходов – 5 баллов.

Замечание. Перемещение каждой фишки показано начальным и конечным положением, промежуточные ходы легко восстановить. К таким пропускам придираться не нужно.

8 класс.

1. В числе 333332222211111, записанном на доске, Петя стер три цифры и получил число кратное 9. Какое число записано теперь на доске? (Указать все возможности и доказать, что других нет.)

Решение

Число делится на 9 только в том случае, когда сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр написанного числа равна 30. Сумма трех цифр от 1 до 3 может изменяться от 3 до 9. Поэтому, после зачеркивания трех цифр сумма цифр нового числа может быть от 23 до 27. Из них кратно 9 только 27. Значит зачёркнуто три цифры сумма которых равна 3, то есть, три единицы. На доске останется число: 333332222211.

Критерии проверки.

Предъявлен ответ: 1 балл.

Указано, что нужна делимость суммы цифр на 9, поэтому нужно вычеркнуть три цифры, сумма которых 3, значит это три единицы: 4 балла.

Для полного решения должно быть показано, что не может быть получена другая сумма цифр, кратная 9. Если это сделано – 7 баллов. Если рассуждение показывает, что вычеркнуты три единицы, а число не предъявлено: минус 1 балл.

2. Наташа и Инна купили по одинаковой коробке чая в пакетиках. Известно, что с помощью одного пакетика они заваривали две или три чашки чая. Этой коробки Наташе хватило на 53 чашки чая, а Инне — на 76. Сколько пакетиков было в коробке? Ответ должен быть обоснован.

Решение

Заметим, что в коробке не могло быть меньше 26 пакетиков: если их хотя бы 25, то Инна не сможет выпить больше 25 . 3 = 75 чашек, а она выпила 76. С другой стороны, в коробке
не могло быть больше 26 пакетиков: если их хотя бы 27, то Наташа не могла выпить меньше 27 . 2 = 54 чашки, а она выпила 53. Таким образом, в коробке было 26 пакетиков: Инна заварила 24 пакетика по три раза и 2 пакетика по два раза, а Наташа заварила 1 пакетик три раза и 25 пакетика по два раза.

Критерии проверки.

Предъявлен только ответ 26 пакетиков: 0 баллов.

Обязательно надо предъявить способ выпить 53 и 76 чашки чая, иначе решение будет не полным. Отсутствие каждого примера: минус 1 балл.

3. Семь гномов различного возраста сидят за круглым столом. Известно, что каждый гном может говорить правду или ложь. Каждый из них сказал, что он старше своих соседей. Какое наибольшее количество правдивых утверждений могло быть?

Ответ: 3.

Решение.

Оценка. Рассмотрим старшего гнома. Он не мог сказать правду. Остальных 6 разобьём на три пары соседних. В каждой паре правду мог сказать только один гном. Значит, правду сказали не более трех гномов. Пример: 7, 5, 6, 3 , 4 , 1 , 2. (Гномы занумерованы по старшинству.)

Критерии проверки.

Задача на оценку плюс пример.

Пример: 2 балла.

Оценка: 4 балла.

При оценке важно, что соседние гномы не могут оба говорить правду, а если не менее четверых говорят правду, то среди них есть соседние.

Всё вместе 7 баллов.

Замечание. Если бы гномы сидели в ряд, то правду могли сказать 4 гнома.

6, 7, 4, 5, 2, 3, 1.

4. Известно, что . Найти .

Решение

Сложим дроби левой части:

Откуда Значит . Снова сложив дроби в левой части последнего равенства получим .

Окончательно имеем

5. Маленькие детки кушали конфетки. Каждый съел на 11 конфет меньше, чем все остальные вместе, но все же больше одной конфеты. Сколько всего конфет было съедено?

Решение

Выберем из детей одного  — к примеру, Петю. Если из всех остальных конфет забрать 11, останется столько же, сколько у Пети. Значит, удвоенное число конфет Пети равно общему числу конфет без одиннадцати. То же можно сказать про любого из детей, значит, у всех детей конфет поровну  — скажем, по одной кучке.
Ясно, что каждый съел на целое число кучек меньше остальных вместе. Поэтому 11 делится на размер кучки. Значит (так как по условию каждый съел больше 1 конфеты), в кучках по 11 конфет, т. е. каждый съел на кучку меньше остальных вместе. Петя съел одну кучку, следовательно, остальные  — две. Значит, всего кучек три, а конфет  — 33.
Это же решение можно записать и алгебраически.
Обозначим через S общее число конфет, которые съели дети. Если один из детей съел a конфет, то по условию все остальные съели a+11 конфет, и тем самым все вместе съели S=a+(a+11)=2a+11 конфет. Такое рассуждение справедливо для каждого ребенка, поэтому все дети съели одно и то же количество конфет: по a=(S–11)/2 штук.
Обозначим теперь через N число детей. Тогда условие записывается как a=a(N–1)–11 , откуда 11=a(N–2) . Число 11 простое, поэтому один из сомножителей равен 1, а другой 11. Но по условию a>1 , поэтому a=11 , N–2=1 . Тем самым N=3 , и была съедена S=aN=33 конфеты.