Тема: «Наибольший общий делитель»

Тип урока: Р

Тема: «Наибольший общий делитель»

Основные цели:

1) тренировать способность к нахождению НОД на основе разложения чисел на простые множители;

2) способность к рефлексии собственной деятельности;

3) повторить и закрепить решение уравнений.

Оборудование, демонстрационный материал

1) задания для актуализации знаний:

№ 1 № 2

(2 × 3 × 5 × 7 × 11) : (2 × 5 × 7 × 11) (2 × 3 × 5 × 7) : (2 × 3 × 7) (2 × 3 × 7) : (2 × 3)	а = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 11, b = 2 · 3 · 3 · 7 · 13, с = 5 · 11.

 

2) эталоны.

П1 Если a и b взаимно простые числа, то НОД (a; b) = 1

 

А1 Разложите числа на простые множители. Выпишите общие множители. Вычислите произведение выписанных множителей, если это необходимо.

 

П2 Если b делитель a, то НОД (a; b) = b

3) образец выполнения заданий:

№ 670

1) (2х + 7х) : 5 = 27; 3) 26 ×(7y + 5 + 3) = 1300; 9х : 5 = 27; 26 ×(7y + 8) = 1300; 9х = 27 × 5; 7y + 8 = 1300 : 26; 9х = 135; 7y + 8 = 50; х = 135 : 9; 7y = 50 – 8; х = 15; 7y = 42; y = 42 : 7; y= 6

 

4) критерий оценки:

За № 1 ставится оценка «3». За № 1 + № 2 (разложение на множители) ставится оценка «4». За № 1 + № 2 ставится оценка «5»

 

Раздаточный материал

1) самостоятельная работа №1.

1. Найти НОД (а, в) если а = 2 × 3 × 3 × 5 × 13; в = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 17 2. Используя разложение на простые множители чисел 60; 130 и 195, найдите: а) НОД (60; 130); б) НОД (60; 195); в) НОД (195; 130).

2) подробный образец решения самостоятельной работы №1.

1. Найти НОД (а, в) если а = 2 × 3 × 3 × 5 × 13; в = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 17

НОД (а, в) = 2 × 3 × 5 = 30.

2.

60 2 130 2 195 5

30 2 65 5 39 3

15 3 13 13 13 13

5 5 1 1

1

а) НОД (60; 130) = 2 × 5 = 10;

б) НОД (60; 195) = 3 × 5 = 1;

в) НОД (130; 195) = 13 × 5 = 65.

3) эталон для самопроверки к самостоятельной работе №1.

1. Найти НОД (а; в) еслиа = 2 × 3 × 3 × 5 × 13; в = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 17

Выпишем одинаковые множители из разложения чисел а и в.

НОД (а; в) = 2 × 3 × 5

Найдем их произведение.

НОД (а; в) = 30.

2. Разложим на простые множители числа 60; 195 и 130.

60 2 130 2 195 5

30 2 65 5 39 3

15 3 13 13 13 13

5 5 1 1

1

а) Найдем НОД (60; 130).

Выпишем одинаковые множители из разложения чисел 60 и 130

НОД(60; 130) = 2 × 5

Найдем их произведение.

НОД (60; 130) = 10;

б) Найдем НОД (60; 195)

Выпишем одинаковые множители из разложения чисел 60 и 195

НОД (60; 195) = 3 × 5;

Найдем их произведение

НОД (60; 195)=1;

в) Найдем НОД (130; 195)

Выпишем одинаковые множители из разложения чисел 195 и 130

НОД (130; 195)= 13 × 5

Найдем их произведение

НОД (130; 195) = 65.

4) алгоритмов исправления ошибок (У – 5)

5) самостоятельная работа №2.

1. Найти НОД (а, в) еслиа = 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 19, в = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 11 2. Пользуя разложение на простые множители чисел 20; 54 и 360, найдите: а) НОД (20; 54); б) НОД (20; 360); в) НОД (54; 360).

6) эталон для самопроверки к самостоятельной работе №2.

1. Найти НОД (а, в) еслиа = 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 19, в = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 11

Выпишем одинаковые множители из разложения чисел а и в.

НОД (а, в) = 2 × 3 × 5 × 5.

Найдем их произведение.

НОД (а; в) = 150.

2. Разложим на простые множители числа 20; 54 и 360.

20 2 54 2 360 2

10 2 27 3 180 3

5 5 9 3 60 2

1 3 3 30 2

1 15 3

5 5

а) Найдем НОД (20; 54). 1

Выпишем одинаковые множители из разложения чисел 20 и 54

НОД(20; 54) = 2;

б) Найдем НОД (20; 360)

Выпишем одинаковые множители из разложения чисел 60 и 19

НОД (20; 360) = 2 × 2 × 5;

Найдем их произведение

НОД (20; 360)= 2 × 2 × 5 = 20;

в) Найдем НОД (54; 360).

Выпишем одинаковые множители из разложения чисел 54 и 360

НОД (54; 360) = 2 × 3 × 3

Найдем их произведение

НОД (54; 360) = 2 × 3 × 3 = 18.

7) дополнительное задание.

№ 662 1) Ковбой Джо, вычисляя НОД (24. 320), получил в ответе 48 и тут же догадался, что допущена ошибка. Как он это сделал? 2) Может ли НОД нескольких чисел быть больше хотя бы одного из этих чисел? № 663 Имеется по 48 синих, жёлтых и зелёных карандашей, 72 красных карандашей и 120 картинок для раскрашивания. Какое наибольшее число одинаковых наборов можно составить из этих картинок и карандашей? По сколько предметов в каждом наборе? № 664. В депо из одинаковых вагонов было сформировано 3 поезда. Первый – на 418 пассажиров, второй – на 456 пассажиров, и третий – на 494 пассажира. Сколько вагонов в каждом поезде, если известно, что общее число вагонов не превышает 50?

 

8) подробный образец дополнительных заданий.

№ 662.

1) НОД не может быть больше чисел, для которых ищем НОД.

2) Нет, не может.

№ 663.

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3; 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3; 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5;

НОД (48; 72; 120) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24.

№ 664.

Найдем ОД (418, 456, 494)

418 2 456 2 494 2

209  11 228 2 247 13

19  19 114 2 19 19

1 57 3 1

19  19

1

НОД(418, 456, 494) = {2, 19}

19 × 3 = 57 > 50, значит, в каждом поезде по 2 вагона. Так как 2 × 3 = 6 < 50

9) задания для выбора.

Найдите НОД чисел: 1) 18 и 16; 5) 150 и 175; 9) 12; 18 и 24; 2) 30 и 45; 6) 380 и 378; 10) 5; 7 и 12; 3) 90 и 180; 7) 7200 и 612; 11) 8; 24 и 80; 4) 45 и 72; 8) 680 и 612; 12) 50; 60 и 70.

 

10) таблица фиксации результатов.

№ задания	Выполнено ("+", или "?")	№ алгоритма	Исправлено в процессе работы	Исправлено в самостоятельной работе
1. 2 (разл.) а) б) в)

11) карточка для этапа рефлексии.

1) У меня сегодня всё получалось, я не допускал ошибок; 2) Я допустил ошибки в первой самостоятельной работе (перечислить ошибки); 3) Я исправил допущенные ошибки в процессе работы над ними; 4) Я не смог самостоятельно исправить ошибки, но исправил их с помощью эталона; 5) Я без ошибок справился со второй самостоятельной работой; 6) Во второй самостоятельной работе я допустил ошибки (перечислить их); 7) Я выполнил дополнительное задание (перечислить выполненные номера); 8) В дополнительном задании я допустил ошибки (перечислить их); 9) Мне необходимо поработать над… Из предложенных пунктов учащиеся выбирают те, которые соответствуют их деятельности.

Ход урока

1. Самоопределение к учебной деятельности

Цель этапа: включение учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока: разложение чисел на простые множители.

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Здравствуйте ребята. Чем мы занимались на прошлых уроках? (Учились находить НОД чисел; изучали алгоритмы нахождения НОД.)

– Как вы думаете, чем мы займемся сегодня? (Будем тренироваться находить НОД чисел, попробуем выяснить, как мы это умеем делать, если возникнут проблемы, попробуем определить причины затруднений и устранить их.)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.

Цель этапа: актуализировать знания о способах нахождения НОД чисел, выполнить самостоятельную работу; зафиксировать задания, вызвавшие затруднение.

Организация учебного процесса на этапе 2:

Проводится устная работа, каждое задание, которого подробно комментируется учащимися, в процессе объяснения на доску вывешиваются эталоны (алгоритмы нахождения НОД).

1. Найдите значение выражений. Запишите только ответы. (3; 5; 7.)

(2 × 3 × 5 × 7 × 11) : (2 × 5 × 7 × 11)

(2 × 3 × 5 × 7) : (2 × 3 × 7)

(2 × 3 × 7) : (2 × 3)

– Установите закономерность и продолжите ряд на 4 числа. (3; 5; 7; 9; 11; 13; 15.)

– Можно ли утверждать, что все числа полученного ряда являются простыми? (Нет.)

– Имеются ли среди данных чисел взаимно простые числа? Приведите примеры.

– Можно ли утверждать, что взаимно простые числа всегда являются простыми? (Нет.)

– Чему равен НОД взаимно простых чисел? (Он равен 1.)

На доску вывешивается определение.

2.а = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 11, b = 2 · 3 · 3 · 7 · 13, с = 5 · 11.

– Найдите: а) НОД (а, b); б) НОД (b, с); в) НОД (а, с). (2 × 3 = 6; 1; 5 × 11 = 55)

– Сформулируйте алгоритм нахождения НОД с помощью разложения чисел на простые множители.

Учащиеся формулируют, и алгоритм вывешивается на доску.

– Какие ещё случаи возможны? (Одно из чисел является делителем второго числа.)

Правило вывешивается на доску.

– Мы с вами повторили способы нахождения НОД чисел, вспомнили, что такое взаимно простые числа и как находится их НОД, а теперь вы напишете самостоятельную работу.

Учащимся предлагается текст самостоятельной работе в одном варианте, записанном на доске или отпечатанный каждому. На работу отводится 10 минут. После выполнения работы учащиеся сверяют решения с образцом, данным на доске или на кодоскопе. По мере проверки учащиеся фиксируют несовпадения с предъявленным образцом и заполняют второй столбец своей таблицы. Если задание выполнено точно так же, как на образце, то в таблице против соответствующего номера они ставят знак "+", а если есть расхождения, то фиксируют их знаком "?". Заполняют второй столбик таблицы для фиксации результатов.

3. Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности

Цель этапа: указать место в задании, где допущена ошибка, определить правило, в котором допущена ошибка, уточнить цель урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

– Кто допустил ошибки в первом задании? (Учащиеся поднимают руки.)

– Какие алгоритмы надо было использовать при решении этого задания? (Алгоритм нахождения НОД чисел, разложенных на простые множители.)

– Какие ещё могут быть причины получения неправильного ответа? (Вычислительная ошибка.)

– Кто допустил ошибки во втором задании? (Учащиеся поднимают руки.)

– Где можно было допустить ошибку? (При разложении чисел на простые множители.)

– Чем нужно воспользоваться при разложении чисел на простые множители? (Воспользоваться признаками делимости.)

– Кто неверно разложил на простые множители числа? (Учащиеся поднимают руки.)

– В чем была допущена ошибка? (Забыли, какие числа называются простыми, допустили вычислительные ошибки.)

– Кто ошибся при нахождении НОД чисел, разложенных на простые множители? (Учащиеся поднимают руки.)

– Какой алгоритм надо было использовать при решении этого задания? (Алгоритм нахождения НОД.)

– Что теперь необходимо сделать? (Уточнить правило, на которое была допущена ошибка, исправить ее.)

– Что вам поможет в работе над ошибками? (Алгоритм выхода из затруднения.)

Алгоритм у каждого на парте.

– Итак, какую цель мы ставим перед собой на этом уроке? (Определить причину ошибки и исправить ее.)

Тем учащимся, у которых совпали все результаты, предлагается проверить свою работу по эталону для самопроверки и при положительном результате приступить к выполнению дополнительного задания №662; 663; 664.

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа: уточнить способы действий, в которых допущены ошибки; исправить ошибки на основе правильного применения правил.

Организация учебного процесса на этапе 4:

Учащиеся самостоятельно выполняют работу над ошибками, учитель на данном этапе выступает в качестве консультанта. В процессе выполнения работы учащимся, которые выполнили работу над ошибками, или не могут справиться самостоятельно с этой работой, выдаются эталоны для самопроверки. Если им удаётся самостоятельно исправить ошибку, они заполняют четвёртый столбик таблицы. Учащимся, допустившим, ошибки предлагаются задания для выбора.

5. Обобщение причин затруднений во внешней речи

Цель этапа: зафиксировать в речи алгоритм нахождения НОД и алгоритм разложения на простые множители чисел (если в этом будет необходимость).

Организация учебного процесса на этапе 5:

Эту работу можно организовать в парах, в группах, которые образованы по сделанным ошибкам. Учитель последовательно выясняет у кого из детей, на какие правила были допущены ошибки и правила проговариваются во внешней речи. В этой работе могут принять участие все учащиеся.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель этапа: проверяем способность к выполнению заданий, которые на предыдущей самостоятельной работе вызвали затруднение; сопоставить полученное решение с эталоном для самопроверки.

Организация учебного процесса на этапе 6:

– Выполните вторую самостоятельную работу, выбирая из заданий только те, в которых допустили ошибки. На работу отводится 7 минут. Те, кто выполнит задание раньше времени, выдаются эталоны для самопроверки этой самостоятельной работы.

Учащиеся, которые выполнили первую самостоятельную работу без ошибок, проверяют выполнение дополнительного задания по подробному образцу.

7. Включение в систему знаний и повторение

Цель этапа: тренировать навыки использования решений уравнений при решении задач; повторить использование диаграммы Венна при изображении множеств.

Организация учебного процесса на этапе 7:

№ 670 (1, 3) (первое на доске, второе самостоятельно с проверкой по подробному образцу).

Реши уравнение с комментарием:

1) (2х + 7х) : 5 = 27; 3) 26 ×(7y+ 5 + 3) = 1300;

9х : 5 = 27; 26 ×(7y + 8) = 1300;

9х = 27 × 5; 7y + 8 = 1300 : 26;

9х = 135; 7y + 8 = 50;

х = 135 : 9; 7y = 50 – 8;

х = 15; 7y = 42;

y = 42 : 7;

y = 6

8. Рефлексия деятельностина уроке

Цель этапа: зафиксировать, где были допущены ошибки, способ исправления допущенных ошибок; зафиксировать содержание, которое повторили на уроке, оценить собственную деятельность; записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 8:

– Какая была цель нашего урока? (Тренироваться в нахождении НОД чисел, используя разложение их на простые множители.)

– Те, кто допускал ошибки при выполнении задания, какая перед вами стояла цель? (Найти ошибку, понять её причину и исправить.)

– Какие задания вызвали наибольшее затруднение?

– Кто из вас достиг цели? (Учащиеся высказываются.)

– Дайте анализ своей деятельности.

Учащиеся делают анализ по плану, предложенному им. (Карты для этапа рефлексии.)

Домашнее задание

№ 672; 682(одно из уравнений), 680 (одну на выбор).