Тема6. Динамика вращения
§6.1. Динамика движения материальной точки
по окружности
Кинематика вращательного движения материальной точки рассматривалась в пунктах 1.5-1.6. Было отмечено, что даже при равномерном движении материальной точки по окружности, ее линейная скорость непрерывно изменяется по направлению. Это происходит благодаря ускорению (1.21), называемому центростремительным 
, или нормальным ускорением – 
. Ускорение материальной точки, в соответствии со вторым законом Ньютона, сонаправлено с вектором равнодействующей приложенных сил, и равно:
.
Таким образом, равномерное движение по окружности материальная точка может совершать, если равнодействующая 
всех сил, приложенных к ней, направлена к центру окружности. Часто силу вызывающую центростремительное ускорение называют "центростремительной силой". Этот термин, как правило, вызывает заблуждение, ориентируя на поиск специфической центростремительной силы. Такой особой – центростремительной силы в природе не существует. Центростремительное ускорение вызывает равнодействующая приложенных сил. Во избежание недоразумений и ошибок мы рекомендуем не пользоваться термином "центростремительная сила", а уравнение динамики вращательного движения материальной точки, масса которой равна m, записывать в следующем виде:
.
Динамика движения материальной точки по окружности может быть изучена на основе общего подхода – с помощью основного закона динамики вращательного движения. Уточним некоторые определения.
Момент силы относительно точки 
(полюса ) – векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки приложения силы, проведенного из точки , и вектора силы 
:
.
Рис.2.9. К определению вектора момента силы.
Напомним, что векторное произведение представляет собой вектор, направление которого определяется по правилу буравчика. Абсолютная величина (модуль) вектора векторного произведения равна произведению модулей векторов–сомножителей и синуса угла между ними
.
Из рисунка 2.9 видно, что модуль 
можно представить следующим образом:
,
где 
– плечо силы относительно точки .
Плечо силы – кратчайшее расстояние от полюса до линии действия силы, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из полюса на линию действия силы.
Момент силы относительно оси – это скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы 
, определенного относительно точки, лежащей на этой оси:
,
где 
– проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси 
, 
– плечо силы относительно оси .
В случае действия нескольких сил 
результирующий момент равен векторной сумме моментов 
всех сил:
или
,
в последнем выражении берут алгебраическую сумму, в которой знак 
зависит от знака проекции на ось .
Момент импульса материальной точки относительно точки (полюса – ) – это векторная величина, равная векторному произведению 
, где 
– радиус-вектор материальной точки (начало которого находится в полюсе ), 
– импульс точки.
Момент инерции материальной точки относительно оси – скалярная величина, равная произведению массы m материальной точки на квадрат расстояния 
от материальной точки до оси:
.
Вращательное движение материальной точки описывается уравнением, которое называется основным уравнением динамики вращательного движения. Запишем уравнение второго закон Ньютона для материальной точки, движущейся по окружности радиусом :
. (*)
Учитывая формулу Эйлера 
, перепишем (*) следующим образом:
.
Умножим справа обе части полученного уравнения векторно на радиус-вектор материальной точки:
.
Соотношение (2.28) можно упростить. Действительно, поскольку вектор 
параллелен вектору , то
.
Имеем:
.
Раскрывая оставшееся двойное векторное произведение:
и учитывая, что векторы и 
взаимно перпендикулярны, а поэтому их скалярное произведение равно нулю, приходим к выражению:
.
Правая часть уравнения (2.29) представляет собой момент силы относительно полюса. Произведение 
есть момент инерции материальной точки, 
– угловое ускорение вращательного движения. Следовательно, уравнение (2.29) можно записать так:
.
Уравнения (2.30) выражает основной закон динамики вращательного движения материальной точки. Оно является не только следствием, но и полным аналогом второго закона Ньютона 
для случая поступательного движения материальной точки.
Заметим, что уравнение 
получено для случая, когда полюс совпадает с центром вращения материальной точки. Если рассматривать движение материальной точки относительно оси вращения , то уравнение движения примет соответствующую скалярную форму:
,
где 
– суммарный момент сил относительно оси , 
– момент инерции относительно оси, 
– проекция угловой скорости на ось , 
– угловое ускорение.
Продифференцируем уравнение 
, определяющее момент импульса 
материальной точки по времени:
.
Получаем:
.
Это уравнение является одним из основных уравнений динамики вращательного движения материальной точки.
Из соотношения (2.33) следует, что под воздействием приложенного момента сил 
момент импульса материальной точки изменяется таким образом, что
.
Соотношение (2.34) выражает закон изменения момента импульса. Очевидно, что вектор приращения момента импульса 
направлен параллельно вектору момента силы.
Выражение момента импульса можно представить в следующем виде:
Обратим внимание на то, что соотношения (2.30) и (2.33) получены нами для материальной точки.
§6.2. Кинетическая энергия вращательного движения
Найдем кинетическую энергию тела, вращающегося относительно неподвижной оси. Будем рассматривать тело как систему материальных точек и воспользуемся формулой (2.62). Скорость 
материальной точки выразим через угловую скорость вращения тела по формуле Эйлера.
.
Здесь через 
обозначен радиус-вектор 
-ой частицы тела, 
ее угловая скорость (одна и та же для всех точек), наконец 
– момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела описывается следующей формулой
. (2.63)
Последнее уравнение для вращательного движения тела аналогично уравнению 
для поступательного движения.
Если тело движется поступательно в инерциальной системе отсчета со скоростью 
и вращается относительно подвижной оси, проходящей через центр масс с угловой скоростью 
, причем ось перпендикулярна направлению скорости (так называемое плоское движение, например, качение колеса), то его кинетическая энергия 
равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:
, (2.64)
здесь 
– масса тела, – его момент инерции относительно оси вращения.
Докажем справедливость соотношения (2.64). Воспользуемся классическим законом сложения скоростей:
,
где - скорость движения -й материальной точки относительно неподвижной системы отсчёта; 
– скорость центра масс тела; – радиус-вектор -й точки, проведенный из центра масс; – угловая скорость вращения тела. Возведя выражение для в квадрат, получим:
.
Используем свойство аддитивности кинетической энергии, и запишем:
.
В полученном выражении последнее слагаемое равно нулю, т. к.
,
вектор 
по определению равен радиус-вектору центра масс тела, который равен нулю в системе центра масс. Окончательно имеем:
.
