Оценка решения двойственной модели к динамической модели с учетом экологического фактора

Динамическая модель межотраслевого баланса, в которой учитывается выделение и утилизация вредных отходов и внесение инвестиций на развитие производства, имеет вид:

(1)

где – период отчетного времени;

– вектор валового выпуска полезного продукта, достигаемый к моменту времени ;

– вектор вредных отходов в окружающей среде, возникающих в процессе производства и подлежащих уничтожению в момент времени ;

– вектор чистого выпуска полезного продукта в момент времени ;

– вектор остаточного уровня вредных отходов в момент времени ;

– технологическая матрица;

– такая матрица, что – вектор полезного продукта, возникающий при переработке вредных отходов в объеме вектора ;

– такая матрица, что при уничтожении вектора вредных отходов в окружающую среду выделяется вредных отходов в объеме вектора ;

– матрица, характеризующая инвестиции части созданного в момент времени t i-го продукта на создание дополнительного резерва производства для выпуска продукции в момент времени ;

– матрица инвестиций, идущих на подавление вредных отходов, возникающих при создании дополнительного резерва производства;

– матрица, характеризующая количество выделяемых единиц вредных отходов при увеличении производства полезного продукта на единицу за промежуток времени h;

– матрица, характеризующая количество выделяемых вредных отходов, при подавлении вредных отходов, выделяющихся при увеличении годового производства продукта на единицу.

Пару элементов , удовлетворяющую системе неравенств (1), будем называть планом задачи (1). Если множество планов задачи (1) не пустое, то оно содержит бесконечное множество элементов. Исходя из экономических соображений, естественно остановиться на таком решении , которое удовлетворяет условию

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

,

где inf берется по всему множеству .

Традиционно итоги хозяйственной деятельности как на макро-, так и на микроуровне подводят за год, поэтому в большинстве случаев h равно одному году. При более мелком разбиении времени отчетности (полугодие, квартал, месяц) h – соответствующая единица (полугодие, квартал, месяц). Однако в ряде ситуаций h может быть и пятилеткой, и десятилетием. Будем считать, что , тогда перепишем модель (1) в следующем виде

где , . При этом считается равным одному отчетному периоду.

Опустим индекс, обозначающий год у переменных, и введем обозначение , тогда рассматриваемая модель (1) примет вид

(2)

Двойственной к модели (2) является модель вида:

(3)

где p – вектор цен полезных продуктов;

– вектор платы за выброс в окружающую среду одной единицы вредного продукта (загрязнения), являющегося побочным результатом производственной деятельности;

– вектор добавленных стоимостей;

– вектор уменьшения платы за загрязнение одной единицей вредного продукта окружающей среды, в силу которой сама среда «борется» с загрязнением;

– матрица, характеризующая часть стоимости затрат по созданию единичного вектора полезного продукта, полученная за счет использования в производстве полезных продуктов всех отраслей в соответствующих количествах;

– матрица, показывающая часть стоимости затрат при создании единичного вектора полезного продукта, связанная с мероприятиями по охране окружающей среды;

– матрица, указывающая часть затрат, направленных на борьбу с загрязнением окружающей среды, равная стоимости затраченных полезных продуктов при уничтожении единицы полезного продукта.

– матрица, выражающая часть затрат на борьбу с загрязнением, равная плате за побочный результат этой деятельности, связанный с дополнительными выбросами в окружающую среду вредных продуктов при уничтожении единицы этого продукта, т. е. создание новых групп вредных продуктов при уничтожении вредных отходов.

Согласно теории двойственности, решение задачи (3) должно удовлетворять условию

.

Перейдем к получению двусторонних оценок решения двойственной модели.

Обозначим , , . Тогда (3) примет вид

. (4)

Пусть , где , – банаховы пространства, полуупорядоченные конусами и соответственно, а , , – неотрицательные числа, удовлетворяющие неравенствам:

, , (5)

, . (6)

Теорема. Пусть – продуктивная матрица. Тогда для решения уравнения (4) справедлива оценка

. (7)

Доказательство. Так как – продуктивная матрица, то и – продуктивная, а значит решение уравнения (4) можно находить методом последовательных приближений, причем

,

где , , , .

Имеем

=–,

потому в силу (5) и (6) имеем

=,

что доказывает правую часть неравенства (7).

Аналогично из (5) и (6) следует

=,

а это доказывает левую часть неравенства (7).

Литература

1. , Галкина теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений. – Ставрополь: СГУ, 1998.

2. Петлина модель к динамической модели межотраслевого баланса с учетом экологического фактора и внесения инвестиций // Материалы докладов XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". – М.: Издательский центр Факультета журналистики МГУ им. , 2007.