Преобразование тригонометрических выражений

Математика, 10 класс

Преобразование тригонометрических выражений

1.  Введение

Тригонометрия, как и всякая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Так, различные задачи астрономии, мореплавания, землемерия, архитектуры привели в необходимости разработки способов вычислений элементов геометрических фигур по известным размерам других их элементов, найденных путем непосредственных измерений.

Само название «тригонометрия» греческого происхождения, в переводе на русский язык оно означает «измерение треугольников».

Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул. Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое членом Русской академии наук Л. Эйлером (15.04.1707-18.09.1783 гг.) получило развитие в трудах русского ученого (1.12.1792-24.02.1856 гг.). эти функции далее легли в основу математического аппарата, при помощи которого изучаются различные периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, движение механизмов, колебание переменного электрического тока и др. Как показал Ж. Фурье (23.03.1768-16.05.1830 гг.), всякое периодическое движение с любой степенью точности можно представить в виде суммы периодических синусоидальных (гармонических) колебаний.

В виду богатых свойств тригонометрических функций и большой вариативности преобразований тригонометрических выражений, эти выражения являются обширным полем для получения навыков работы с математической символикой, формулами и выражениями. Можно относиться к преобразованиям тригонометрических выражений как к игре, смысл которой заключается в следующем: имеется набор правил, согласно которым надо делать записи, придать следующий вид, форму или структуру. Можно усложнить эти условия: провести варианты преобразований, ввести параметры оптимизации и выбрать оптимальный метод. А можно рассматривать процесс тригонометрических преобразований как лингвистическую задачу: переход от «прозы» к специальным «стихам».

Пожелаем читателю успеха в выполнении таких «игровых ходов» и получения восхищения от того, что удалось найти эстетическое выражение!

В виду разнообразия подходов, рассмотрим одни из принятых способов классификации методов преобразования по отношению «формулы связи тригонометрических функций».

2.  Формулы сложения и вычитания

2.1.  Вычислить: .

Решение.

Ответ: .

2.2.  Вычислить: .

Решение.

Ответ: .

3.  Формулы для двойного и половинного аргумента. Выражение sin(na) и cos(na) через степени sina и cos a

3.1.  Упростить выражение:

(3.1)

Решение.

Первый способ.

Из тождества , следует, что , откуда

, (3.2)

. (3.3)

Тогда

(3.4)

Подставив (3.2) и (3.4) в (3.1) будем иметь

Второй способ

Используя (3.3), получим, что

(3.5)

Подставив (3.2) и (3.5) в (3.1) будем иметь

.

Ответ: А=-1. Первый способ может быть предпочтительней в данном примере, так как использует только формулы «тригонометрической» единицы.

3.2.  Доказать, что

. (3.6)

Решение.

Имеем

.

Преобразуя левую часть (3.6) тем же способом и далее, получим последовательно

.

Тождество доказано.

3.3.  Упростить:

.

Решение.

Применив формулы

, (3.7)

, (3.8)

получим

.

Ответ: .

3.4.  Дано , где . Вычислить и .

Решение.

Имеем сначала

.

Так как

, то .

Тогда

;

.

Для нахождения можно воспользоваться различными формулами, например,

.

Ответ: ; ; .

3.5.  Вычислить: , если .

Решение.

На основании формулы

, .

Тогда по формуле

, .

Далее, .

Ответ: .

4.  Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в полусумму и полуразность («неудобному для логарифмирования»)

4.1.  Вычислить .

Решение.

.

Ответ: .

4.2.  Упростить:

.

Решение.

Рассмотрим второй способ упрощения этого выражения. Первый способ рассмотрен в 3.3.

Заметим, что

и .

Тогда

.

Ответ: . Второй способ, видимо, требует для этого примера * специальных формул.

5.  Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение («удобному для логарифмирования»)

5.1.  Привести к виду, удобному для логарифмирования:

.

Решение.

Воспользовавшись формулой

;

получим, что

.

Согласно формуле

.

Откуда

.

Тогда

.

Ответ: .

5.2.  Проверить, что

.

Решение.

По формулам приведения

и формуле

получим, что

Так как , то приходим к равенству 4=4.

Ответ: В=4.

Контрольное задание

Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

Наш адрес: 680000, 8, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).

М10.10.1. Вычислить:

.

М10.10.2. Упростить:

.

М10.10.3. Доказать тождество:

.

М10.10.4. Дано . Найти .

М10.10.5. Получить выражение через .

М10.10.6. Доказать тождество

.

М10.10.7. Вычислить: .

М10.10.8. Доказать тождество: .

М10.10.9. Привести к виду, удобному для логарифмирования:

.

М10.10.10. Проверить равенство:

.

Дополнительные задания

М*10.10.1. Упростите:

.

М*10.10.2. Упростите:

.

М*10.10.3. Доказать тождество:

.

М*10.10.4. Проверьте равенство:

.