РАСЧЕТ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ДИПОЛЯ МЕТОДОМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
© , 2004
ГУП ВНЦ ГОИ им.
Биржевая линия 12, Санкт-Петербург, 199034, Россия
Показано, что непосредственное интегрирование уравнений Максвелла приводит к корректному решению задачи о поле излучения диполя. Проведен анализ поля в ближней, средней и дальней зонах. Существующее представление о неоднородности волны в средней зоне и о структуре сферической волны в дальней зоне оказывается несостоятельным.
Sall S. A. It is shown that the direct integration of Maxwell’s equations results in the correct solution of a task on a field of dipole radiation. The analysis of a field in near, average and far zones is carried out. The existing representation about inhomogeneity of a wave in an average zone and about structure of a spherical wave in a far zone appears erroneous.
Принято полагать, что непосредственное интегрирование системы уравнений Максвелла в форме Герца-Хевисайда для нахождения поля излучающего диполя связано с большими трудностями. С целью упрощения этой задачи используется широко распространенный прием введения вспомогательных функций пространственных координат и времени – векторного и скалярного потенциалов. Подстановка выражений для этих потенциалов в систему уравнений Максвелла после ряда преобразований и при условии нормировки Лоренца приводит к уравнениям Даламбера. Их решение ищется в виде запаздывающих потенциалов. Однако, как показано в работе 1, сведение уравнений Максвелла к уравнениям, выраженным через векторный и скалярный потенциалы, в общем случае математически некорректно. При одних и тех же краевых условиях эти уравнения могут приводить к кардинально отличающимся решениям для электрического Е и магнитного Н полей. Калибровочная инвариантность полученных уравнений вовсе не означает их эквивалентности уравнениям Максвелла. Против такого сведения, как и против метода запаздывающих потенциалов, предложенного Фитцджеральдом, выступал Кельвин.
Между тем, задача о поле излучения диполя, колеблющегося по гармоническому закону, легко решается без сведения уравнений Максвелла к уравнениям Даламбера для векторного и скалярного потенциалов. Представим вектор E в виде 
, где
– квазистатическая составляющая поля, для которой частная производная по времени равна нулю, а 
– динамическая составляющая поля, для которой частная производная отлична от нуля. Согласно принципу суперпозиции полей, систему уравнений Максвелла можно решать отдельно для квазистатических и динамических составляющих, а затем суммировать решения двух новых систем. Из первой системы следует выражение закона Кулона, из второй – волновые уравнения для векторов и H. Решение систем в сферической системе координат приводит к следующим выражениям для проекций полей в вакууме:
,
,
,
где 
– амплитуда дипольного момента, ω – циклическая частота колебаний, ξ – начальная фаза колебаний, R– расстояние от диполя до рассматриваемой точки поля, с – скорость света в вакууме.
Отметим существенные отличия полученного решения от принятого в электродинамике. 1) Квазистатические составляющие поля (первые слагаемые в выражениях для и ) устанавливаются во всем пространстве без задержки. Этот результат соответствует максвелловскому приближению несжимаемой среды, а также представлениям Вебера, Гаусса, Кельвина и ряда других создателей классической электродинамики о принципиально различном характере распространения квазистатических полей и электромагнитных волн. 2) Наше решение полностью удовлетворяет закону сохранения энергии: средний поток энергии через сферическую поверхность любого радиуса R сохраняется. Согласно же принятой в электродинамике теории, в средней зоне этот поток не сохраняется из-за наличия компонент неоднородной волны и 
, пропорциональных R–2. 3) В дальней зоне квазистатическими составляющими можно пренебречь, и представленный результат оказывается близким к принятому в электродинамике, однако из-за присутствия динамической составляющей волны не оказываются сферическими. В каждой точке поля вектор Пойнтинга перпендикулярен оси диполя, но его проекция на любое направление радиус-вектора в точности соответствует принятому в электродинамике результату, и известная формула для средней мощности излучения диполя остается справедливой. Наш расчет поля излучения диполя можно использовать и для прозрачной изотропной диэлектрической среды, однако в полученные выражения необходимо ввести релаксационные члены, учитывающие процесс поляризации.
Область справедливости данного расчета ограничивается рамками применимости уравнений Максвелла, записанных для невязкой, несжимаемой и неподвижной мировой среды. Влияние вязкости приводит к ограничению распространения магнитного поля 2 и превращению волн в сферические на значительном расстоянии. Сжимаемость должна вызывать отклонение от зависимости 1/R в убывании волны на небольшом расстоянии. Корректный расчет поля движущегося и одновременно осциллирующего диполя требует приведения уравнений Максвелла к галилей-инвариантной форме 3. Характеристики поля излучения релятивистского диполя можно рассчитать с привлечением классических представлений о деформации формы заряда и шредингеровском «дрожании» 1. Лоренц-инвариантная релятивистская электродинамика, основанная на неоднородных уравнениях Даламбера для векторного и скалярного потенциалов, приводит к искаженным представлениям о поле дипольного излучения даже в нерелятивистском случае.
Литература
1. , , Проблемы исследования Вселенной, 23, 215–241, (2001).
2. . Общая эфиродинамика. М., Энергоатомиздат,1990.
3. . Основы современной электродинамики. СПб., 1999.
