Базовые понятия теории вероятностей

1. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

	,
Случайные события	Операции над событиями
Классическое определение вероятности	Элементы комбинаторики

Практическое занятие №1

БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Случайные события

Случайное событие – это любой факт, который может либо произойти, либо не произойти при выполнении некоторого комплекса условий. При этом выполнение некоторого комплекса условий отождествляется с проведением испытания (опыта).

Обычно случайные события обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C,… Геометрически случайные события удобно изображать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Случайные события – замкнутые области, обычно круги или эллипсы (рис. 1 – 4).

·  Если в каждом испытании с неизбежностью происходит некоторое событие – оно называется достоверным ().

·  Если событие заведомо не может произойти при данном комплексе условий (ни при каком испытании) – оно называется невозможным (Ø).

·  События А и В называются несовместными (несовместимыми), если появление одного из них исключает появление другого (рис. 4), т. е. они не могут произойти одновременно.

·  События А и В называются совместными (совместимыми), если они могут произойти одновременно в результате испытания.

·  События А и В называются равновозможными, если по условиям испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным.

·  Множество событий называется полной группой событий, если они попарно несовместны (т. е. никакие два из них не могут произойти одновременно) и какое-то из них обязательно произойдет.

Пример 1. Рассмотрим случайные события (выпадение определенного числа на верхней грани), которые могут произойти при бросании простого шестигранного игрального кубика.

·  Ω - достоверное событие – выпадение какого-либо числа от 1 до 6;

·  Ø – невозможное событие – выпадение числа 7.

Введем обозначения: А – выпадение числа 2, В – выпадение числа 3, С – выпадение нечетного числа; D - выпадение любого из чисел 1, 3 или 5. Тогда события:

·  А и В, А и С, А и D – несовместные;

·  В, С и D – совместные (причем В – частный случай С и В – частный случай D);

·  А и В – равновозможные события;

·  Полная группа событий – выпадение чисел от 1 до 6.

Операции над событиями

Суммой событий А и В называют событие (или другое обозначение - объединение), состоящее в том, что произошло либо А, либо В, либо оба события одновременно (рис. 1); в другой формулировке - наступление хотя бы одного из этих событий А или В.

Рис. 1. Сумма событий	Рис. 2. Произведение событий

Произведением событий А и В называют событие (или другое обозначение - пересечение), состоящее в одновременном наступлении этих событий А и В (рис. 2).

Пример 2. Пусть случайным образом из колоды карт извлекается одна карта. Введем обозначения: случайное событие А – извлечение дамы, событие В – извлечение короля, С – извлечение карты пиковой масти. Тогда события:

·  А+В – извлечение дамы или короля любой масти;

·  А·C – извлечение пиковой дамы;

·  (А+В)·С – извлечение пиковой дамы или пикового короля.

Событие называется противоположным событием (дополнением) события А, если непоявление одного события влечет появление другого (рис. 3). В другой формулировке событие - отрицание события А.

Рис. 3. Противоположные события	Рис. 4. Несовместные события

Пример 3. При бросании монеты: выпадение "орла" и "решки" – противоположные события. При бросании игрального кубика: если случайное событие – выпадение числа 2, то ему противоположное событие – выпадение любого другого числа (1, 3, 4, 5 или 6).

Простое утверждение о случайности события представляет ограниченный познавательный интерес. Чаще возникает необходимость не в констатации факта случайности события, а в построении количественной оценки возможности его наступления, которая реализуется в понятии вероятности.

Классическое определение вероятности

Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления. Согласно классическому определению вероятность Р(А) события А:

,

где М – число случаев, благоприятствующих событию А;

N - общее число всех возможных исходов испытания.

Из определения вероятности вытекают свойства вероятности события:

·  вероятность достоверного события равна 1, т. к. все исходы испытания являются благоприятными ();

·  вероятность невозможного события равна 0, т. к. нет ни одного благоприятного исхода испытания ();

·  вероятность любого случайного события есть число от нуля до единицы, так как число благоприятных исходов: .

Пример 4. Известно, что среди 23 приборов имеется 3 бракованных. Какова вероятность при случайном отборе взять бракованный прибор?

Событие А состоит в том, что отобранный прибор – бракованный. Так как отбор случайный, общее число вариантов отбора N = 23, из них благоприятствуют событию А – 3 случая, т. е. М = 3. Тогда: P(A) = 3 / 23 = 0,13.

Элементы комбинаторики

При решении вероятностных задач часто приходится в заданном множестве выбирать подмножества элементов, которые обладают определенными свойствами. Поскольку в таких задачах речь идет про те или иные комбинации объектов, то их называют комбинаторными. Сформулируем основные правила комбинаторики.

Правило суммы. Если элемент А1 может быть выбран n1 способами, элемент А2 – другими n2 способами,…, Аk – nk способами, отличными от первых, то выбор одного из элементов : или А1, или А2, …, или Аk может быть осуществлен способами.

Пример 5. В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них были обработаны на первом станке, 120 – на втором, а остальные – на третьем станке. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали, обработанной на первом или втором станке?

Деталь, обработанная на первом станке может быть извлечена 150 способами и на втором - 120. Число способов извлечения детали составляет: 150+120=270.

Правило произведения. Если элемент А1 может быть выбран n1 способами, после каждого такого выбора элемент А2 может быть выбран n2 способами,…, после каждого (k-1) выбора элемент Аk может быть выбран nk способами, то выбор всех элементов А1, А2, …, Аk может быть осуществлен способами.

Пример 6. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и ответственного за сайт группы. Сколько существует способов это сделать?

Старостой может быть выбран любой из 30 учащихся, его заместителем – любой из оставшихся 29, а ответственным за сайт – любой из оставшихся 28. Общее число способов рассматриваемого выбора равно 30·29·28=24360.

Пусть дано множество из n различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из m элементов (). Например, из 5 элементов a, b, c, d, e могут быть отобраны комбинации по 2 элемента: ab, cd, eb, ba, ce и т. д.; по 3 элемента: abc, cbd, cba, ead и т. д.

Если комбинации из n элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим), то такие комбинации называют размещениями из n элементов по m:

, где (при этом условно считается, что ).

Пример 7. Расписание одного дня состоит из 5 пар. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов, как составом дисциплин, так и порядком их следования (или и тем и другим), т. е. является размещением из 11 элементов по 5: 11·10·9·8·7=55440.

Если комбинации из n элементов по m отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями из n элементов по m:

.

Пример 8. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т. е. представляет собой сочетание из 16 элементов по 2: (16·15)/(1·2)=120.

Если комбинации из n элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из n элементов:

Пример 9. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т. е. является перестановкой из 7 элементов: 7!=1·2·3·4·5·6·7=5040.

При вычислении вероятности при небольших N все случаи могут быть непосредственно перечислены и среди них несложно указать те, которые благоприятствуют рассматриваемому событию. В большинстве испытаний этого сделать не удается, и в таких случаях используют правила и формулы комбинаторики.

Пример 10. Среди 17 студентов группы, в которой 9 юношей, проводится розыгрыш 7 билетов лотереи, причем каждый студент может выбрать только один. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов будет 4 девушки?

Общее число исходов испытания представляет собой все возможные способы выбора 7 выигравших студентов из 17, эти исходы равновозможны и несовместны. Так как все выигрышные билеты лотереи одинаковы, и порядок выигравших студентов не важен (только их состав), то число всех возможных исходов есть число сочетаний из 17 по 7: N=17!/(10!·7!)=19448.

Событие А представляет собой выбор 4 выигравших девушек из 8 и 3 выигравших юношей из 9, т. е. произведение сочетаний: M=(8!/(4!·4!))·(9!/(3!·6!))=5880.

Тогда вероятность события А: Р(А)=5880/19448=0,30.

Пример 11. Имеется 10 карточек - одна сторона у них чистая, а на другой написаны буквы: А, А, С, С, Т, Т, Т, И, И, К. Карточки кладут на стол чистой стороной вверх и перемешивают, а затем последовательно одну за другой переворачивают.

а) Какова вероятность того, что будет составлено слово СТАТИСТИКА?

Всего имеется 10 элементов (10 букв), в образовании различных соединений участвуют все 10 элементов, различные соединения отличаются друг от друга только порядком элементов. Следовательно, общее число исходов определяется перестановками из 10-ти элементов: N=10!=3628800.

Благоприятствующее событию А число случаев больше одного, т. к. перестановка двух букв С (осуществляемая 2! способами) и перестановка трех букв Т (3! способами), соответственно букв И (2!) и А (2!) не меняет собранное из карточек слово: M=2!·3!·2!·2!=48.

Тогда вероятность события А: Р(А)=48/3628800=0,0000132.

б) Какова вероятность того, что при случайном отборе и расположении трех из этих карточек в ряд будет составлено слово ИКС?

Здесь уже участвуют не все 10 карточек, а только 3 из них. Следовательно, возможными случаями считаются любые расположения трех карточек из 10 в ряд. Так как порядок следования важен, общее число исходов есть число размещений из 10 карточек по 3: N=10!/7!=8·9·10=720.

Благоприятствующими случаями для события В будут те расположения карточек, когда на первом месте стоит буква И (2 способа, т. к. две карточки с И), на втором – К (1 способ), на третьем – С (2 способа): M=2·1·2=4.

Тогда вероятность события В: Р(В)=4/720=0,00555.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. Пусть элементарное событие А – по дороге из института домой встретилась черная кошка, а В – встретилась злая собака. Описать словами следующие события:

·  ; ;

·  ; ;

·  ; .

Задача 2. Стрелок произвел три выстрела по мишени. Обозначим элементарные события: А1, А2, А3 – попадание при первом, втором и третьем выстреле соответственно. С помощью алгебры событий (сумма, произведение, отрицание) выразить через элементарные следующие сложные события:

·  А - три попадания;

·  В - три промаха;

·  С - одно попадание;

·  D - хотя бы один промах;

·  E - не менее двух попаданий;

·  F - не больше одного попадания;

·  G - попадание в мишень после первого выстрела.

Задача 3. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

Задача 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях:

·  равна а) 11; б) 7;

·  менее четырех очков;

·  четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

Задача 5. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное:

а) двузначное число;

б) двузначное число, цифры которого различны.

Задача 6. В зрительном зале забронировано 10 мест для приглашенных гостей. Пришли 7 приглашенных. Найти вероятность того, что четверо из пришедших гостей займут определенные для каждого из них места, при условии, что гости занимают места случайным образом.

Задача 7. В коробке 5 красных, 3 зеленых, 2 синих карандаша. Наудачу без возвращения извлекают 3 карандаша. Найти вероятность следующих событий:

·  А – все извлеченные карандаши разного цвета;

·  В – все извлеченные карандаши одного цвета;

·  С – среди извлеченных карандашей 1 синий;

·  D – среди извлеченных карандашей в точности 2 одного цвета.

Задача 8. По условиям лотереи "Спортлото 6 из 45" участник лотереи, угадавший 4, 5, 6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов спорта из 45, получает денежный приз. Найти вероятность того, что будут угаданы:

а) все 6 цифр;

б) 4 цифры.

Задача 9. Из колоды карт вынули 4 туза и 4 короля. Эти карты перемешали и разложили в ряд. Какова вероятность того, что все 4 короля окажутся расположенными рядом?