Глава 13. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
§1. Понятие факториала.
1. Вычислить значение выражения:
a) 
. b) 
.
2. Упростить выражение:
a) 
. b) 
.
Решить уравнения (3 - 4):
3. a) 
.
b) 
.
4. a) 
. b) 
.
5. Сколько нулей имеет на конце число 50! ?
6. Сколько нулей имеет на конце число 500! ?
7. Доказать тождество 
.
§2. Соединения.
8. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 2, 3?
9. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами их можно посадить в два ряда, чтобы рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
10. В 12-ти этажном доме на первом этаже в лифт садятся 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они могут это сделать, если на 2-м этаже лифт не останавливается?
11. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из одиннадцати дисциплин.
12. С помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, переставляя их, образуют всевозможные пятизначные натуральные числа, причем каждая из этих цифр входит в каждое число один раз. Сколько среди этих чисел будет таких, в которых цифры 1 и 3 не стоят рядом?
13. Из чисел 1, 2, 3, ..., 100 составляют парные произведения. Сколько из полученных чисел будет кратно трем?
14. Сколько различных семизначных чисел можно написать, пользуясь только цифрами 1, 2 и 3, при условии, чтобы цифра 2 в каждом числе встречалась 2 раза?
15. Сколькими способами можно разместить “n” одинаковых шаров по “k” ящикам?
16. В 10 урнах распределены 6 белых и 6 черных одинаковых по размеру шаров, причем в каждой урне имеется хотя бы один шар. Сколько существует различных вариантов распределения шаров?
17. На один ряд, в котором 8 стульев, рассаживаются 5 юношей и 3 девушки. Сколькими способами они могут сесть, чтобы не все девушки оказались сидящими рядом?
18. Семь различных предметов нужно распределить между тремя людьми. Сколькими способами это можно сделать, если одному или двум из них может не достаться ни одного предмета?
19. Из 12 лотерейных билетов, среди которых находятся 4 выигрышных, берут 6 билетов. Сколькими способами можно взять 6 билетов, чтобы среди них находился хотя бы один выигрышный?
Вычислить (20 - 21):
20. a) 
; b) 
; c) 
; d) 
.
21. a) 
; b) 
; c) 
;
d) 
.
Решить уравнения (22 - 29):
22. a) 
; b) 
.
23. a) 
; b) 
.
24. a) 
; b) 
.
25. a) 
; b) 
.
26. a) 
; b) 
.
27. a) 
; b) 
.
28. a) 
; b) 
.
29. a) 
; b) 
.
Решить неравенства (30 - 33):
30. a) 
; b) 
.
31. a) 
; b) 
.
32. a) 
; b) 
.
33. a) 
; b) 
.
34. Решить систему уравнений:
a) 
b) 
§3. Бином Ньютона.
Разложить по формуле бинома Ньютона (35 - 36):
35. a) 
; b) 
.
36. a) 
; b) 
.
37. В разложении 
найти коэффициент члена, содержащего 
.
38. Найти 5-й член разложения 
.
39. Третий коэффициент разложения 
равен 45. Найти четвертый коэффициент от конца.
40. В разложении 
коэффициент третьего члена разложения больше коэффициента второго на 35. Найти член разложения, не содержащий x.
41. Найти член разложения 
с наибольшим коэффициентом.
42. Найти член разложения 
, содержащий 
.
43. Найти третий член разложения 
, если сумма всех биномиальных коэффициентов этого разложения равна 2048.
44. Найти член разложения 
, не содержащий a.
45. Упростить выражение 
и найти член разложения, который не содержит “a”.
46. Сумма коэффициентов первого, второго и третьего слагаемых разложения 
равна 46. Найти член разложения, не содержащий “a”.
47. В разложении 
коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный член.
48. Сколько рациональных членов содержится в разложении 
.
Глава 14. Числовые последовательности
1. Написать первые семь членов последовательности, n-й член которой задается формулой:
a) 
. b) 
. c) 
. d) 
.
2. Написать первые пять членов последовательности 
и изобразить их на координатной плоскости.
3. Написать первые семь членов последовательности и изобразить их на координатной плоскости:
a) 
. b) 
. c) 
. d) 
.
4. Доказать, что последовательности, заданные следующими формулами, являются убывающими:
a) 
. b) . c) 
.
d) .
5. Доказать, что последовательности, заданные следующими формулами, являются возрастающими:
a) 
. b) 
. c) 
.
d) 
.
6. Доказать, что последовательности, заданные следующими формулами, не являются возрастающими и не являются убывающими:
a) 
. b) 
. c) 
.
d) 
.
7. По заданным первым членам последовательности подобрать формулу n-го члена:
a) 
. b) 
.
c) 
. d) 
.
8. Написать формулу общего члена последовательности:
a) 
. b) 
.
c) 
. d) 
.
9. В арифметической прогрессии дано: 
. Найти число членов прогрессии, не превышающих по модулю 50.
10. В арифметической прогрессии дано: 
. Найти число членов прогрессии, не превышающих по модулю 70.
11. В арифметической прогрессии дано: 
. Найти 
.
12. В арифметической прогрессии дано: 
. Найти 
и d.
13. В геометрической прогрессии дано: 
. Найти 
.
14. В геометрической прогрессии дано: 
. Найти 
.
15. В геометрической прогрессии дано: 
. Найти 
.
16. В геометрической прогрессии дано: 
. Найти 
.
17. Представить в виде десятичной дроби: 
.
18. Представить в виде обыкновенной дроби: 0,(4); 0,2(45); 0,3(54); 1,(9); 1,2(9); 0,31(2).
Найти сумму (19 - 20):
19. a) 
. b) 
.
c) 
.
d) 
.
20. a) 
.
b) 
. c) 
. d) 
.
21. Найти сумму ряда:
а) 
. b) 
.
c) 
.
d) 
.
Вычислить пределы (22 - 28):
22. a) 
. b) 
. c) 
.
d) 
.
23. a) 
. b) 
.
c) 
. d) 
.
24. a) 
. b) 
.
c) 
.
25. a) 
. b) 
.
c) 
. d) 
.
26. a) 
. b) 
.
c) 
.
d) 
.
27. a) 
. b) 
.
c) 
. d) 
.
28. a) 
. b) 
. c) 
. d) 
.
29. Дан ряд 
. Найти: a) сумму трех первых членов;
b) 
.
30. Дан ряд 
. Найти: a) сумму четырех первых членов; b) .
31. Дан ряд 
. Найти .
32. Дан ряд 
. Найти .
