ТЕМА ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
РЯДЫ
I. Парадоксы, связанные с бесконечностью.
Задание 1. Попробуйте определить сумму, состоящую из бесконечного числа слагаемых, в которой чередуются 1 и –1. Используйте для вычисления различные способы группировки.
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = ?
Решение.
I способ. 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + … = .
II способ. 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) – … = .
III способ. Пусть S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
Тогда 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = 1 – ( ),
т. е. S = Þ S = .
выразите через S значение
Сумма, состоящая из бесконечного количества слагаемых, называется рядом. В школьном курсе рассматривалась бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, для которой известна формула суммы всех ее членов:
где b – ,
q – ( 
).
?? Какие проблемы могут возникнуть при суммировании бесконечного количества слагаемых?
.
.
.
Историческая справка. Одна из знаменитых апорий Зенона Элейского (V век до н. э.) «Ахиллес и черепаха» приводит к понятию бесконечного суммирования. В то время, когда Ахиллес, находящийся на определенном расстоянии от черепахи и догоняющий ее, преодолеет половину исходного расстояния между ними, черепаха успеет за это время отползти на какое-то расстояние. Далее Ахиллес вновь преодолевает половину разделяющего их расстояния, а черепаха снова удаляется от Ахиллеса. Сможет ли Ахиллес догнать черепаху?
Геометрический ряд исторически был первым бесконечным рядом, для которого была определена его сумма. Архимед (III век до н. э.) для вычисления площади параболического сегмента (фигуры, ограниченной прямой и параболой) применил суммирование бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 
. Интересно, что после Архимеда вплоть до XVI века математика рядами не занималась. Ряды вошли в математику лишь тогда, когда началось изучение изменяющихся процессов. Эти исследования связаны с именами таких известных ученых, как , Л. Эйлер и др., например, идея представления функций степенными рядами принадлежит И. Ньютону.
II. Основные понятия.
Пусть дана бесконечная последовательность чисел: а1, а2, …, аn, …
– (*)
аn, где n = – ;
– .
Частичные суммы можно также рассматривать как числовую последовательность: S1, S2, …, Sn, …
Если существует предел этой последовательности S = ,
математическая запись
то ряд (*) называется,
при этом S – .
Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то ряд называется
. (Такой ряд суммы не имеет.)
Примеры.
а) 1 + q + q2 + … + qn + … – .
Если 
, то,
название числовой последовательности
при этом 
Þ .
вывод о сходимости ряда
Если q =1, то, Sn = Þ .
вид ряда вывод о сходимости ряда
б) Исследуйте ряд 
на сходимость.
=
представьте ряд в виде бесконечной суммы
представьте n-ый член ряда в виде разности двух дробей
Тогда Sn =
представьте каждый член ряда в виде разности двух дробей и упростите
. Þ
.
вывод о сходимости ряда (если возможно, то укажите его сумму)
III. Основные свойства рядов.
Пусть дан ряд 
. (*)
Если в ряде (*) отбросить первые m членов, то получится ряд:
= 
; (**)
его называют остатком ряда (*) после m-го члена (или просто остаток m).
Теорема 1. Остаток m ряда сходится или расходится одновременно с .
.
Доказательство.
Пусть 
– частичная сумма k членов ряда (**), т. е. .
выразите через частичные суммы ряда (*)
При фиксированном значении m Sm – .
Тогда существование предела 
(или )
смысл существования предела
равносильно .
(или ).
Следствие 1. При исследовании ряда на сходимость можно.
.
Теорема 2 (необходимый признак сходимости ряда).
Общий член аn сходящегося ряда (*) стремится к при .
, т. е. .
математическая запись
Доказательство.
Так как ряд сходится, то.
математическая запись
аn = Þ 
выразите через частичные суммы
Следствие 2. Если общий член аn ряда не стремится к нулю при n ,
то.
вывод о сходимости ряда
?? Если 0, то означает ли это, что ряд сходится? .
Пример.
– гармонический ряд.
представьте ряд в виде бесконечной суммы
S2n – Sn = 
– =
= >
представьте в виде суммы дробей; сколько их? оцените с помощью самой маленькой дроби
Если бы гармонический ряд сходился, то 
Þ
.
вывод о сходимости гармонического ряда
Теорема 3. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд 
, где с – , тоже сходится и его сумма равна.
Теорема 4. Если ряды и 
сходятся и их суммы равны соответственно А и В, то ряд 
тоже сходится и его сумма равна.
Доказательства теорем 3 и 4 основаны на свойствах пределов последовательностей:
;
.
укажите соответствующие свойства
IV. Положительные ряды и признаки сходимости.
Ряд называется положительным, если.
математическая запись
.
словесная формулировка
Тогда Sn+1 Sn , т. е. последовательность частичных сумм.
сравните
Чтобы существовал предел частичных сумм, необходимо и
математическая запись
достаточно, чтобы последовательность 
была ограничена сверху.
Теорема 5 (признак сравнения).
Пусть даны два положительных ряда:
(1)
(2)
Если члены ряда (1) не превосходят соответствующих членов ряда (2), т. е.
, то
математическая запись
· из сходимости ряда (2) следует ;
вывод относительно ряда (1)
· из расходимости ряда (1) следует.
вывод относительно ряда (2)
Пример. Исследуйте на сходимость ряд 
.
?? Является ли данный ряд положительным? , так как.
Можно ли n-ый член данного ряда сравнить с помощью n-го члена другого ряда, сходимость которого уже известна?
.
вывод о сходимости ряда
.
Признак Даламбера.
Если члены положительного ряда таковы, что 
, то
при r ряд ;
условие вывод о сходимости ряда
при r ряд.
условие вывод о сходимости ряда
Примечание. Если r , то необходимо дополнительное исследование, так как возможно, что ряд сходится или расходится.
Примеры.
а) 
– , при этом 
=
вывод о сходимости ряда
б) – , при этом =
вывод о сходимости ряда
Исследуйте следующие ряды на сходимость:
в) 
=
представьте ряд в виде бесконечной суммы
=
.
вывод о сходимости ряда
г) 
=
представьте ряд в виде бесконечной суммы
=
.
вывод о сходимости ряда
V. Знакочередующиеся ряды и признак сходимости.
Ряд вида.
называется знакочередующимся.
Теорема Лейбница (признак сходимости знакочередующегося ряда).
Если:
· члены знакочередующегося ряда по абсолютной величине монотонно убывают,
т. е. ;
математическая запись
· n-ый член ряда при неограниченном возрастании n стремится к нулю,
т. е. ,
математическая запись
то знакочередующийся ряд сходится.
Пример. Исследуйте на сходимость следующий ряд: 
.
проверка первого условия теоремы
Þ .
проверка второго условия теоремы вывод о сходимости ряда
VI. Абсолютная и условная сходимости рядов.
Пусть – произвольный знакопеременный ряд.
– ряд.
какой?
Теорема. Если ряд сходится, то ряд .
вывод о сходимости ряда
Определения. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .
Если же ряд расходится, а ряд сходится, то его называют.
.
Задание 1. Приведите пример условно сходящегося ряда.
VII. Степенные ряды.
Определение 1. Ряд 
, каждый член которого является функцией от х, называется.
Из них наиболее употребительными являются степенные и тригонометрические.
Определение 2. Функциональный ряд вида 
, где а1, а2, …, аn, … –
, называется.
Иногда рассматривают степенные ряды более общего вида: 
.
Если значение х фиксировано, то степенной ряд из функционального
превращается в. В зависимости от значения х можно говорить о сходимости или расходимости ряда.
Возможна сходимость степенного ряда:
· только при х = 0;
· на всей числовой прямой, т. е. ;
укажите значения х
· при 
, где R – .
Если при ряд сходится, а при 
– расходится, то тогда:
R – ;
(-R; R) – .
Если ряд сходится только при х = 0, то R = ;
если ряд сходится на всей числовой оси, то R = .
В простейших случаях радиус сходимости R определяют с помощью признака сходимости Даламбера: 
.
Пример. Определите радиус и интервал сходимости степенного ряда 
.
аn =
R =
VIII. Применение рядов в приближенных вычислениях.
В приближенных расчетах очень часто используют представление функции у = f(x) в виде степенного ряда. При этом используются, как правило, частичные суммы этого ряда. Следует иметь в виду, что если какую-то функцию удалось разложить в ряд, то это представление единственно.
Например, 
Такой ряд сходится при х , так данный ряд при этом условии будет
являться.
В случае, если функция у = f(x) n раз дифференцируема в окрестности некоторой точки х0, то ее можно представить в виде степенного ряда следующим образом:
выпишите n-ый член ряда
Такой ряд называется рядом Тейлора функции f(x). При х0 = 0 ряд Тейлора называется рядом Маклорена и имеет вид:
Используя разложение функции в ряд, ее можно представить через n-ую частичную сумму степенного ряда: 
, где
– ;
– .
Существуют специальные признаки, позволяющие установить, что ряд Тейлора (или Маклорена) сходится к функции у = f(x) (тогда и только тогда, когда 
).
Представление функции в виде степенного ряда позволяет находить ее значения с заданной точностью, интегрировать как сумму степенных функций и т. п.
Задание 2. Разложите следующие функции в ряд Маклорена:
а) у = ех.
; 
; …; 
;
; …; 
у(0) =
Тогда ех=
Ряд сходится на всей числовой оси (R = ).
б) 
.
; ; 
; 
;
и т. д.
у(0) = 
=
; 
Тогда 
=
Ряд сходится на всей числовой оси (R = ).
в) 
.
; ; ; ;
и т. д.
у(0) = =
;
Тогда 
=
Ряд сходится на всей числовой оси (R = ).
г) 
.
; ; ; ;
и т. д.
; ; 
; …;
у(0) =
Тогда 
Ряд сходится при х Î (–1; 1].
