Заочная олимпиада 2013 г. Решения

Заочная олимпиада 2013 г. Решения.

5 класс

1. Последовательностью цифр

14012006140120101201

зашифровано слово следующим образом: каждой букве поставлено в соответствие двузначное число. Расшифруйте.

Решение. Исходная последовательность цифр разбивается на пары: 14 01 20 06 14 01 20 10 12 01. Если каждое число означает порядковый номер буквы в русском алфавите, то мы получим слово МАТЕМАТИКА.

2. Можно ли представить числа 2013 и 2014 в виде суммы и в виде произведения трёх последовательных натуральных чисел?

Ответ: 2013 представляется в виде суммы и не представляется в виде произведения.

2014 не представляется ни в виде суммы, ни в виде произведения.

Решение. . Про произведение: одно из двух последовательных натуральных чисел чётно, и поэтому произведение трёх последовательных натуральных чисел также чётно. А 2013 – нечётное число, оно не может быть произведением трёх последовательных натуральных чисел.

Сумма трёх последовательных натуральных чисел равна и делится на 3. Произведение трёх последовательных натуральных чисел также делится на 3, т. к. одно из них делится на 3. А 2014 на 3 не делится.

3. Найдутся ли три правильные несократимые дроби, сумма которых – целое число, обладающие следующим свойством: если каждую из этих дробей «перевернуть» (т. е. заменить на обратную), то сумма полученных дробей тоже будет целым числом?

Ответ: да; например, 1/2, 1/3, 1/6.

Решение. Проще всего подобрать три дроби с числителями, равными 1. Но возможны и другие варианты, например 2/11, 3/11, 6/11.

4. Можно ли отметить на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой из них на расстоянии 1 находилось ровно три других точки?

Ответ. Можно.

Решение. Нарисуем равносторонний треугольник со стороной 1 и сдвинем его на 1 вверх (см. рисунок). Вершины этих двух треугольников мы и отмечаем: они удовлетворяют условию задачи. Возможны и другие решения.

5. Бросают кубик, на гранях которого (по одной на каждой грани) написаны различные цифры от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма цифр на четырёх боковых гранях оказалась равна 12, во второй – 15. Какая цифра написана на грани, противоположной той, где написана цифра 3?

Ответ: 6.

Решение. Заметим, что сумма всех чисел, написанных на кубике, равна 21. Поэтому сумма чисел на верхней и нижней грани в первом и втором случаях равна 9 и 6 соответственно. После первого броска понятно, что либо 3 напротив 6, либо 4 напротив 5. Предположим, что 4 напротив 5. Но после второго броска ясно, что либо 1 напротив 5, либо 2 напротив 4. Противоречие; следовательно, 3 напротив 6.

Заочная олимпиада 2013 г. Решения.

6 класс

1. Сколько существует пятизначных положительных чисел, делящихся на 2013?

Ответ: 45.

Решение. Минимальное из таких чисел равно .

, поэтому максимальное из таких чисел равно . Следовательно, количество искомых чисел есть .

2. В целях экономии средств Метрострой нанял двух землекопов для рытья туннеля. Один из них может за час прокопать вдвое больше, чем другой, а платят по договору каждому одинаково за каждый час работы. Что обойдётся дешевле – совместное рытьё землекопами туннеля с двух сторон до встречи или поочерёдное рытьё по половине туннеля каждым из землекопов?

Ответ: дешевле копать до встречи.

Решение. За один час работы быстрый землекоп выкапывает больше, а платят им одинаково. Значит, метр туннеля, выкопанный быстрым землекопом, обходится дешевле. В варианте до встречи на долю быстрого придётся больше половины туннеля, а в другом варианте — только половина. Значит, дешевле копать до встречи.

3. Найдите натуральное число n такое, что .

Ответ: .

Решение. Разложение числа 2013 на простые сомножители имеет вид:. Число n должно быть делителем 2013, и поэтому его следует выбирать из 1, 3, 11, 61, 2013. Прямым перебором получаем ответ.

4. Обязательно ли равны два треугольника, если они имеют по три равных угла и по две равные стороны?

Ответ: нет.

Решение. Возьмём треугольник со сторонами 8 см, 12 см и 18 см и увеличим его в полтора раза. Получится треугольник с такими же углами, а стороны у него будут равны 12 см, 18 см и 27 см. Возможны и другие примеры.

5. Можно ли отметить на доске 8×8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой?

Ответ: да.

Решение. Раскрасим доску в шахматном порядке. Заметим, что белые клетки граничат по стороне только с чёрными, и наоборот. Поэтому сначала отметим несколько белых клеток так, чтобы у каждой чёрной клетки был ровно один отмеченный сосед (например, так, как на рисунке слева). Затем отметим несколько чёрных клеток так, чтобы и у каждой белой клетки появился ровно один отмеченный сосед (так, как на рисунке справа), при этом у чёрных клеток новых отмеченных соседей не появится.

Заочная олимпиада 2013 г. Решения.

7 класс

1. Задумано простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?

Ответ: 7.

Решение. Очевидно, что последняя цифра больше 1. Трёхзначное простое число не может оканчиваться ни на чётную цифру (т. е. на 0, 2, 4, 6 или 8), ни на цифру 5. Если последняя цифра 3 или 9, то сумма всех цифр числа, равная удвоенной последней цифре, делится на 3, а тогда и само число делится на 3. Таким образом, осталась только цифра семь. Такие числа действительно существуют; наименьшее из них – 167.

2. Можно ли отметить на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой из них на расстоянии 1 находилось ровно три других точки?

См. решение задачи 4 для 5 класса.

3. Найдите количество всех делителей числа 20132013.

Ответ: .

Решение. Разложение числа 2013 на простые сомножители имеет вид:. Поэтому делители числа 20132013 должны иметь вид , где m, n и k – любые целые числа от 0 до 2013. Таких троек будет .

4. Бросают кубик, на гранях которого (по одной на каждой грани) написаны различные цифры от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма цифр на четырёх боковых гранях оказалась равна 12, во второй – 15. Какая цифра написана на грани, противоположной той, где написана цифра 3?

См. решение задачи 5 для 5 класса.

5. Что больше – (2013!)2014! или (2014!)2013! ? (Указание: n! – эн факториал – есть произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n.

Например: 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.)

Ответ: (2013!)2014! > (2014!)2013!

Решение. Во-первых, .

Во-вторых, .

Очевидно, что , и тем более , поэтому первое выражение больше второго, т. е. (2013!)2014! > (2014!)2013!.

Заочная олимпиада 2013 г. Решения

8 класс

1. Простым или составным является число 20132013 + 8?

Ответ: составным.

Решение. . Поэтому . Это выражение раскладывается по формуле суммы кубов на два целых сомножителя, больших единицы.

2. Куб распилили на две части. Может ли на срезе получиться 2013-угольник?

Ответ: нет.

Решение. Чтобы получить сторону многоугольника на срезе, нужно распилить одну из граней куба. Всего граней шесть, поэтому на срезе не может получиться многоугольник с количеством сторон более шести.

3. Обязательно ли равны два треугольника, если они имеют по три равных угла и по две равные стороны?

См. решение задачи 4 для 6 класса.

4. Известно, что для некоторой последовательности чисел a1, a2, …, an, …

a1 + a2 + … + an = n3 для любого числа n. Найдите остаток от деления a20132013…2013 (число 2013 повторено 2013 раз) на 12078.

Ответ: 1.

Решение. Для любого числа n . Очевидно, что для указанного в условии индекса (много раз) нацело делится на (n делится на 2013 и нечётно; делится на два). Таким образом, искомый остаток равен 1.

5. Что больше – (2013!)2014! или (2014!)2013! ? (Указание: n! – эн факториал – есть произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n.

Например: 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.)

См. решение задачи 5 для 7 класса.

Условия и решения задач 3 – 5 для 5 класса, 2, 4, 5 для 6 класса, 1, 2, 4 для 7 класса, 3 для 8 класса взяты с косметическими изменениями из книги «Приглашение на Математический праздник» (изд-во МЦНМО, 2005)