Резные поверхности монжа

Резные поверхности Монжа

Резными называются поверхности, у которых плоскости одного семейства плоских линий кривизны ортогональны поверхности. Семейство плоских линий кривизны резной поверхности будет геодезическим, следовательно, нормали этих линий совпадают с нормалями поверхности. Таким образом, резную поверхность можно охарактеризовать как поверхность с геодезическим семейством линий кривизны.

Резная поверхность, одной из эволют которой служит торс, называется резной поверхностью Монжа, по имени геометра, который первый обратил внимание и исследовал поверхности этого типа (1807 г.). Эволютную поверхность (эволюту) резной поверхности называют ее направляющей поверхностью.

Гаспар Монж [1] дал определение резных поверхностей, как поверхностей образуемых движением плоской кривой, лежащей в плоскости, катящейся без скольжения по некоторой развертывающейся поверхности.

Резную поверхность Монжа можно построить кинематическим методом качения без скольжения плоскости с плоской линией (меридианом) по развертывающейся поверхности. Если взять произвольную плоскую кривую на касательной плоскости Р развертывающейся поверхности S, а затем начать качение этой плоскости Р без трения по поверхности неподвижного направляющего торса S (неподвижный аксоид), то образующая кривая будет очерчивать резную поверхность Монжа. Таким образом, поверхность Монжа образовывается ортогональными траекториями однопараметрического семейства плоскостей. Ортогональные траектории точек меридиана называются параллелями. Все меридианы резной поверхности конгруэнтны. Меридианы и параллели составляют два семейства линий кривизны резной поверхности (рис. 7.1).

Простейшим примером поверхности Монжа служит поверхность вращения, которую можно рассматривать как вырождение поверхности Монжа. Здесь однопараметрическое семейство плоскостей, несущих меридиан, вырождается в пучок плоскостей, проходящих через ось вращения поверхности. Кинематический метод построения резных поверхностей дает возможность разделить их на три группы в зависимости от типа направляющей поверхности (неподвижного аксоида): резные поверхности с цилиндрической, конической и торсовой направляющими поверхностями.

Нетрудно показать, что каждая точка лежащая в плоскости, катящейся без проскальзывания по развертывающейся поверхности, совершает в каждый момент движение ортогональное этой плоскости. Следовательно, можно дать альтернативное определение резной поверхности: резная поверхность образуется движением некоторой плоской кривой (образующей) вдоль другой произвольной кривой (направляющей) так, что образующая кривая лежит в нормальной плоскости направляющей линии и жестко с ней связана. Аналогичный подход к определению резных поверхностей Монжа принят в работе [2]. Необходимо, однако, отметить, что последнее условие является необходимым, но недостаточным для образования резной поверхности.

Геометрия резных поверхностей исследовалась многими учеными [3-6]. Исследования показали, что система плоских кривых, образующих поверхности при движении по направляющей является системой линий кривизны резной поверхности Монжа. Образующие кривые являются геодезическими линиями поверхности, т. е. нормали к поверхности лежат в плоскости образующих кривых и являются их нормалями. В ряде работ резные поверхности определяются как поверхности, у которых плоскости одного семейства линий кривизны ортогональны поверхности [3].

Необходимо выяснить условия вращения образующий кривой, чтобы последовательные положения образующей кривой и траектории ее точек образовывали сеть линий кривизны.

1. Геометрия резных поверхностей Монжа

Поверхность, образуемая движением плоской кривой в нормальной плоскости произвольной кривой, представлена на рис. 2. Уравнение поверхности запишем в векторной форме

, (1.1)

где – радиус-вектор поверхности; – радиус вектор направляющей кривой; – уравнение образующей кривой в полярной системе координат; – уравнение окружности единичного радиуса (рис. 1,б) в нормальной плоскости направляющей кривой; – единичные начальные вектора в нормальной плоскости направляющей кривой.

В уравнении (1.1) используется уравнение образующей кривой в полярной системе координат. Повторим также запись уравнения (1.1) поверхности в параметрической форме

. (1.2)

Очевидно, несложно перейти от одной формы уравнения к другой,

; ;

. (1.3)

Однако для проводимых исследований, вывода формул квадратичных форм удобнее уравнение поверхности в форме (1.1)

Учитывая, что образующая кривая лежит в нормальной плоскости направляющей кривой, т. е. в плоскости содержащей нормаль ν и бинормаль β направляющей кривой, уравнение единичной окружности можно записать в виде

, (1.4)

где ; – угол между нормалью направляющей кривой и начальным вектором подвижной системы координат, к которой привязана образующая кривая. По мере движения образующей кривой вдоль направляющей система единичных векторов может поворачиваться вокруг касательной к направляющей кривой по отношению к нормали и бинормали;

Учитывая, что вектор-функции являются сложными функциями при их дифференцировании по u, v будем пользоваться соотношениями:

; ; ;

; (1.5)

.

Заметим также, что ; ;

; ; (1.6)

Используя формулы (1.5), (1.6) и формулы дифференциальной геометрии, получим

;

;

; ;

. (1.7)

Продифференцируем уравнение поверхности (1.2):

; ;

;

;

. (1.8)

Учитывая ортогональность единичных вектор-функций , получим формулы коэффициентов 1-й квадратичной формы:

; ; ;

, (1.9)

.

Получим формулу для вычисления коэффициента 2-й квадратичной формы, характеризующего сопряженность поверхностной системы координат

; (1.10)

Из теории поверхностей известно, что при равенстве нулю коэффициента первой квадратичной формы F, поверхностная система координат является ортогональной, а при равенстве нулю коэффициента второй квадратичной формы М, поверхностная система координат будет сопряженной. При равенстве нулю обоих коэффициентов поверхностная система координат будет системой линий главных кривизн поверхности. Так как коэффициенты квадратичных форм F и M не равны нулю, то в общем случае поверхность, описываемая формулой (1.1) не является резной поверхностью Монжа. Однако из формул (1.9), (1.10) для коэффициентов F и M видно, что они имеют общий множитель, приравнивая который нулю, получаем ортогональную, сопряженную систему координат. Следовательно, чтобы поверхность, образуемая движением образующей плоской кривой вдоль направляющей линии была резной поверхностью Монжа, образующая кривая должна лежать в нормальной плоскости направляющей кривой и должно выполняться условие:

или , (1.11)

т. е. система координат e0(u), g0(u) (см. рис. 2,б), в которой описывается уравнение плоской образующей кривой в нормальной плоскости направляющей кривой, образует с нормалью направляющей кривой ν(u) угол θ(u), меняющийся в процессе движения образующей кривой вдоль направляющей по закону (1.11), θ0 – константа интегрирования, начальный угол между векторами e0(u) и ν.

Как следует из формулы (1.11), угол θ(u) зависит от кривизны кручения направляющей линии. Для плоской направляющей линии χ = 0, θ(u) = θ0, т. е. образующая кривая движется в нормальной плоскости направляющей линии без вращения.

С учетом формулы (1.11) получаем формулы коэффициентов первой квадратичной формы резной поверхности Монжа:

; ; F = 0,

; (1.12)

– параметр длины образующей кривой,

(1.13)

– нормаль к поверхности, которая лежит в плоскости образующей кривой, определяемой векторами е, g и, следовательно, образующие кривые резной поверхности являются геодезическими линиями поверхности.

Получим коэффициенты 2-й квадратичной формы резной поверхности Монжа и ее главные кривизны:

;

,

; М = 0, (1.14)

; ,

где k0 – кривизна образующей кривой.

Формулы коэффициентов квадратичных форм и радиусов кривизны (1.14) получены для образующих линий, записанных в полярной системе координат. При использовании уравнения образующей кривой в параметрической форме , , получим

; . (1.15)

Для записи формул коэффициента А 1-й квадратичной формы и кривизны k1, используем переход от полярной системы координат к декартовой прямоугольной системе координат:

; ;

; ;

,

и, следовательно,

; . (1.16)

Рассмотрим несколько частных случаев резных поверхностей.

Если направляющая кривая – окружность, то

; ; ; . (1.17)

Резная поверхность является поверхностью вращения.

Если образующей кривой является окружность, тогда

; ; ; ; . (1.18)

Резная поверхность является трубчатой поверхностью кругового сечения. Если и направляющая окружность является окружностью, то резной поверхность будет тор.

Возьмем за образующую линию прямую. В этом случае:

; ; ; (1.19)

; .

Резная поверхность является развертывающейся (торсовой) поверхностью.

На рис. 3 представлены резные поверхности с различными направляющими и образующими кривыми.

 

2. Параболо-синусоидальных резные поверхности

Рассмотрим резные поверхности с направляющей параболой и образующей синусоидой X(v) = v, . Здесь b – амплитуда, с – длина полуволны синусоиды. Так как парабола –плоская кривая, то положение образующей в нормальной плоскости направляющей параболы определяется постоянным углом q0. В зависимости от величины угла q0, определяющего взаимное положение параболы и синусоиды можно конструировать разнообразные оболочки, в том числе полуволновые и многоволновые. Парабола в вертикальной плоскости может быть при необходимости заменена на параболу в горизонтальной или наклонной плоскости., что не влияет на геометрические характеристики поверхности, ; ; – геометрические характеристики направляющей параболы;

; ;

– геометрические характеристики образующей синусоиды. Геометрические характеристики для поверхности определяются формулами (9.85), (9.86):

; ; ; , (9.90)

причем

;

– параметрические уравнения синусоиды, повернутой на угол q0 против часовой стрелки относительно нормали параболы.

Рассмотрим полуволновые поверхности с направляющей параболой в вертикальной плоскости.

На рис. 4 представлены типы параболо-синусоидальных оболочек с различными параметрами образующей синусоиды с длиной на одну полуволну при q0 = 90°. Параметры параболы на всех рисунках приняты одинаковыми: а = –0,05 м–1, (м) (опорный пролет параболы в плане 30 м), высота подъема f = 11,25 м. Параметры синусоиды показаны на рис. 4. Поверхности построены в системе «MathCad».

При b < 0 (а < 0 – вершина параболы направлена вверх) получаем оболочки положительной гауссовой кривизны (рис. 4, а, в, д, ж). При b > 0 (а < 0) получаем оболочки отрицательной гауссовой кривизны (рис. 4, б, г, е, з). В зависимости от соотношения амплитуды b и длины полуволны с синусоиды получаем пологие или подъемистые в поперечном направлении оболочки.

Если начало координат синусоиды сдвинуть на π/2, получим

,

т. е. такой сдвиг аналогичен замене образующей синусоиды на косинусоиду. В этом случае получаем оболочку с зонами положительной и отрицательной гауссовой кривизны в сечении p/2. Чертежи представлены на рис. 5.

 

На форму параболо-косинусоидальных оболочек не влияет знак амплитуды косинусоиды (при , так как косинусоида обратно симметрична относительно сечения х = p/2 . Изменение знака приводит к развороту оболочки на 180°.

На рис. 6, в-е показаны отсеки параболо-косинусоидальных оболочек с образующей косинусоидой на полную волну косинусоиды.

Изменение знака гауссовой кривизны оболочки происходит в сечениях v = c/2 и v = 3c/2. Косинусоидальные оболочки в отличие от синусоидальных в опорных сечениях имеют горизонтальную касательную. Опорный угол параболо-синусоидальных кривых зависит от отношения амплитуды синусоиды к длине полуволны , ω – угол, образуемый касательной образующей синусоиды с осью синусоиды в точке касания синусоиды опорной параболы.

Рассмотрим оболочки образуемые несколькими волнами синусоиды , р – число полуволн синусоиды. Направляющая парабола лежит в вертикальной плоскости, ось образующей синусоиды перпендикулярна плоскости параболы (рис. 7).

При нечетном числе полуволн синусоиды оболочка имеет плоскость

симметрии в поперечном направлении (середина синусоидальной кривой).

Ограничивая интервал изменения координаты образующей параболы в одном из направлений относительно начала координаты у, получаем полуоткрытую параболо-синусоидальную многоволновую оболочку консольного типа (рис. 7, ж, з)

Другой тип многоволновых параболо-синусоидальных оболочек получаем при направляющей параболе, расположенной в горизонтальной плоскости и с образующей синусоидой с осью, совпадающей с нормалью параболы (рис. 8, а, б). На рис. 8, в, г ось параболы расположена под углом к плоскости образующей параболы.

На примере резных поверхностей с направляющей параболой и образующей синусоидой показано, что меняя параметры образующей и направляющих кривых можно создать множество разнообразных архитектурных форм тонкостенных конструкций, как показанных на рисунках 9.16-9.20, так и множество других форм параболо-синусоидальных оболочек.

Отметим, что к классу поверхностей Монжа относятся линейчатые развертывающиеся поверхности, образующими линиями которых являются прямые линии. Этот подкласс поверхностей Монжа рассмотрен в разделе - линейчатые и развертывающиеся поверхности.