Статически определимые балки

Р а з д е л 2

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ

(по материалам лекций 3-5)

2.1. Загрузка линий влияния

статически определимых однопролетных балок

Задача 2.1.1. На рис. 2.1.1, а показана однопролетная балка, загруженная линейной распределенной нагрузкой q и сосредоточенным моментом m.

На рис. 2.1.1, б представлены соответствующие эпюры поперечных сил Q и внутренних изгибающих моментов M.

На рис. 2.1.1, в показаны линии влияния опорных реакций RA, RB, изгибающих мо-ментов в сечениях x = l, x = 2l и поперечной силы в сечении x = 2l.

Используя линии влияния, представленные на рис. 2.1.1, в, проверить значения опорных реакций RA, RB, , указанные на рис. 2.1.1, а и на эпюрах изгибающих моментов и поперечных сил (рис. 2.1.1, б) в соответствующих сечениях балки.

Решение. На балку действует сплошная равномерно распределенная нагрузка q и сосредоточенный момент m, поэтому для определения опорной реакции RA необходимо значение распределенной нагрузки q умножить на площадь участка линии влияния опорной реакции RA, находящейся под этой нагрузкой. Полученный результат необходимо сложить с произведением внешнего сосредоточенного момента m на тангенс угла (α < 0) наклона линии влияния RA:

Аналогично поступаем при вычислении опорной реакции RB, только используем линию влияния опорной реакции RB:

В этом случае тангенс угла наклона α линии влияния опорной реакции RB берется со знаком (+).

Используя линию влияния изгибающего момента М в сечении x = l, вычисляем значение этого изгибающего момента в сечении x = l однопролетной балки:

При вычислении M(x = l) принимаем во внимание, что тангенс угла α наклона линии влияния M(x = l) на правом конце балки берется со знаком (–). Положительное направление наклона линии влияния показано на линии влияния RB.

Полученное значение изгибающего момента в сечении x = l совпало со значением изгибающего момента в этом же сечении, взятом из эпюры моментов (рис. 2.1.1, б).

Используя линию влияния изгибающего момента М в сечении x = 2l, вычисляем значение этого изгибающего момента в сечении x = 2l однопролетной балки (рис. 2.1.1, а):

Зная линию влияния Q(x = 2l), можно вычислить поперечную силу в этом же сечении балки, возникающую от действия заданных внешних нагрузок (рис. 2.1.1, а):

В последней формуле значение площади участка линии влияния Q(x = 2l) под внешней распределенной нагрузкой q взято со знаком (–).

Задача 2.1.2. Пусть эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для заданной однопролетной балки (рис. 2.1.2, а) построены заранее (рис. 2.1.2, б). По правилам, изложенным в лекции 4, строим линии влияния опорных реакций RA, RB (рис. 2.1.2, в), изгибающих моментов в сечениях С и Д (рис. 2.1.2, г) и поперечных сил в сечении С (рис. 2.1.2, д) и в любом сечении Е на участке СД балки (рис. 2.1.2, е).

Требуется, используя линии влияния, вычислить опорные реакции для заданной однопролетной балки и значения внутренних изгибающих моментов и поперечных сил в соответствующих сечениях этой же балки.

Решение. Для определения опорных реакций балки, внутренних изгибающих моментов и поперечных сил в заданных сечениях загрузим соответствующие ли-нии влияния заданными внешними сосредоточенными силами F1 и F2.

– Для определения опорных реакций RA и RB загрузим их линии влияния:

– Для определения изгибающих моментов в сечениях С и Д (рис. 2.1.2, а) загрузим заданными сосредоточенными силами их линии влияния:

– Для определения поперечной силы на участке АС балки построим линию влияния поперечной силы QАС в сечении, находящемся на бесконечно малом расстоянии влево от сечения С (рис. 2.1.2, а). Согласно материалам лекции 4 эта линия влияния будет иметь вид, представленный на рис. 2.1.2, д. Загрузим линию влияния QС внешними сосредоточенными силами:

– Для определения поперечной силы на участке СД балки построим линию влияния поперечной силы QE в произвольном сечении Е (рис. 2.1.2, а). Согласно материалам лекции 4 эта линия влияния будет иметь вид, представленный на рис. 2.1.2, д. Загрузим линия влияния QE внешними сосредоточенными силами:

Все полученные значения совпали с соответствующими значениями этих же факторов, представленных на рис. 2.1.2, а или на эпюрах М и Q (рис. 2.1.2, б).

Задача 2.1.3. На рис. 2.1.3 представлены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для консольной балки, нагруженной внешними нагрузками. На этом же рисунке показаны линии влияния опорной реакции VA, опорного момента MA, изгибающего момента МВ и поперечной силы QB в сечении В балки. Определим опорные реакции в заделке, изгибающий момент и поперечную силу в сечении В, используя соответствующие линии влияния.

Решение. Построение линий влияния, изображенных на рис. 2.1.3, не вызывает особых трудностей. Необходимо только помнить, что линия влияния – это график, изображающий закон изменения определенного фактора (опорной реакции, изгибающего момента или поперечной силы) в заранее выбранном сечении в зависимости от положения единичного груза, который движется по балке.

Для определения опорных реакций балки, внутренних изгибающих моментов и поперечных сил в заданных сечениях загрузим соответствующие линии влияния заданными внешними нагрузками.

Например, загрузим линию влияния VA:

Определяем опорный момент МА:

Загружая внешними нагрузками линию влияния МВ, находим:

Определяем поперечную силу в сечении В:

Все полученные значения совпали с соответствующими значениями этих же факторов, представленных на рис. 2.1.3.

Задача 2.1.4. Имеется однопролетная балка, загруженная двумя сосредоточенными моментами m1 и m2 (рис. 2.1.4, а). Для этой балки построены эпюры моментов М и поперечных сил Q (рис. 2.1.4, б).

Построение линий влияния опорных реакций (рис. 2.1.4, в), изгибающего момента в сечении С (рис. 2.1.4, г) и поперечной силы в этом же сечении (рис. 2.1.4, д) не вызывает трудностей. Методика их построения описана в лекции 4.

Требуется, используя линии влияния, вычислить опорные реакции для заданной однопролетной балки и значения изгибающего момента и поперечной силы в сечении С этой же балки.

Решение. Для определения опорных реакций балки, внутреннего изгибающего момента и поперечной силы в сечении С загрузим соответствующие линии влияния заданными внешними сосредоточенными моментами m1 и m2. Таким образом, будем иметь: