ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
КАК ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА.
МЕТОД ГЛАВНОГО КРИТЕРИЯ
Формулировка задачи
Осуществить выбор автомобиля для покупки по совокупности технических, экономических и эстетических показателей с учётом ограничений, отражающих индивидуальные предпочтения и финансовые возможности покупателя, выступающего в качестве лица, принимающего решение (ЛПР).
Этапы выполнение задания
1. Формирование исходных данных
Таблица исходных вариантов. Используя сайты Интернет и рекламные проспекты сформировать в табличном процессоре Excel таблицу данных об автомобилях различных марок.
Таблица должна включать один столбец со списком из 10 – 12 вариантов – марок-моделей автомобилей и около 10 столбцов их разнородных показателей, например, следующих: «Год выпуска», «Мощность двигателя», «Разгон до 100», «Тип привода», «Тип кузова», «Число дверей», «Цена», «Цвет», «Страна выпуска», «Потребление топлива на 100 км». Эти показатели часто называются частными критериями выбора. В таблице эти критерии должны быть пронумерованы.
Следует сразу же предусмотреть два дополнительных столбца – с названиями «Номер варианта» в левой части таблицы и «Признак удаления» в правой части.
Ограничения. Под столбцом каждого показателя необходимо расположить ограничения, отражающие предпочтения и возможности покупателя.
Ограничение может иметь одну из следующих форм:
a) ограничение сверху, в виде: 
; это ограничение означает: «не более 200000»;
b) ограничение снизу, в виде: 
; это ограничение означает: «не менее 24»;
c) интервальное ограничение, в виде: 
; это ограничение означает: «От 24 до 60 включительно»; если одна или обе границы в допустимый интервал не входят, то соответствующая скобка заменяется на круглую, например, 
означает «Больше 24, но не более 60»;
d) перечисление допустимых вариантов, в виде: {Красный, Белый, Чёрный};
e) перечисление недопустимых вариантов, в виде: НЕ {Украина, Китай};
f) отсутствие ограничений – в виде: *.
Пример таблицы исходных вариантов представлен в таблице 1. Естественно, в процессе выполнения задания должна быть составлена другая аналогичная таблица. Рассматривая пример, учтите, что ячейки последнего столбца заполняются на втором этапе решения, на текущем – первом этапе – ячейки этого столбца остаются пустыми.
Таблица 1. Таблица исходных вариантов
Номер | Наименование | Год выпуска | Объем двиг. | Разгон до 100 км | Привод | Кузов | Число дверей | Цена | Цвет | Страна | Топливо на 100 км | Признак удаления |
1 | Mazda 3 | 2010 | 1.6 | 11 | передний | седан | 4 | 684000 | голубой | Япония | 8 | 2,3,8,9 |
2 | Volkswagen Touareg | 2001 | 3.6 | 7.5 | смешанный | универсал | 5 | 355000 | красный | Германия | 13 | |
3 | Toyota Camry | 2007 | 2.4 | 7 | передний | седан | 4 | 715000 | серебристый | Япония | 10 | |
4 | Ford Focus | 2010 | 1.6 | 10.2 | передний | седан | 4 | 558 000 | красный | Россия | 8 | 2,3,10 |
5 | Audi A6 | 2008 | 2.8 | 7 | передний | седан | 4 | 745000 | белый | Германия | 11 | |
6 | Nissan Teana | 2008 | 2.5 | 8 | передний | седан | 4 | 730000 | черный | Япония | 10 | |
7 | BMW X 5 | 2001 | 3.0 | 6.5 | полный | хэтчбек | 5 | 740000 | синий | Германия | 14 | |
8 | Mercedes-benz ML 350 | 2008 | 3.5 | 8 | полный | фастбек | 5 | 2280000 | серый | США | 15 | 8,9,11 |
9 | RANGE ROVER VOGUE | 2006 | 4.0 | 9 | полный | фастбек | 5 | 1200000 | темно-синий | Великобритания | 17 | 8,9,11 |
10 | RENO LOGAN | 2008 | 1.6 | 12 | передний | седан | 4 | 200000 | фисташковый | Россия | 8 | 2,9,10 |
Ограничения | >=2000 | >=2.0 | <=10 | * | * | * | <=750000 | {красный, черный, белый, серебристый, синий} | НЕ {Россия, Китай} | <=14 |
2. Формирование множества допустимых вариантов
Таблица допустимых вариантов формируется путём удаления из Таблицы исходных вариантов тех строк, у которых хотя бы один показатель (частный критерий) не удовлетворяет установленным ограничениям.
На втором этапе решения поставленной задачи необходимо выполнить следующие действия:
1) в таблице исходных вариантов просматриваем строки каждого варианта и сравниваем значение каждого частного критерия со значением соответствующего ограничения;
2) если значение какого-то частного критерия не удовлетворяет ограничению, то в ячейке «Признак удаления» текущей строки размещаем номер этого частного критерия; если встретятся еще частные критерии, не удовлетворяющие соответствующим ограничениям, то их номера так же помещаются в ячейку столбца «Признак удаления»; все эти номера представляют собой указание на необходимость исключения текущего варианта из дальнейшего рассмотрения;
3) копируем таблицу исходных вариантов (выделяем таблицу мышкой и нажимаем Ctrl+C) и размещаем копию за строкой заголовка «2. Таблица допустимых вариантов», нажимая Ctrl+V;
4) удаляем из таблицы все строки, содержащие не пустые ячейки в столбце «Признак удаления».
Далее:
1. Если Таблица допустимых вариантов окажется пустой, то необходимо вернуться на этап формирования Таблицы исходных вариантов.
2. Если Таблица допустимых вариантов окажется состоящей из одной строки, то решение задачи получено.
3. Если Таблица допустимых вариантов окажется состоящей из нескольких строк, то осуществляется переход к следующему этапу решения.
Таблица допустимых вариантов для нашего примера представлена в таблице 2. Она не пуста, не состоит из одного элемента, следовательно, необходимо выполнять следующий этап решения.
3. Ранжирование вербальных (словесных) значений
Некоторые параметры («Год выпуска», «Мощность двигателя», «Разгон до 100», «Число дверей», «Цена», «Потребление топлива на 100 км») вариантов имеют числовые значения, а некоторые – словесные, такие как «Тип привода», «Тип кузова», «Цвет», «Страна выпуска». Словесные значения называются качественными, как противоположность количественным (числовым) значениям. Наряду с термином «словесные» используется термины «вербальные» и «лингвистические». Эквивалентны по смыслу словосочетания «словесные значения», «вербальные значения» и «лингвистические метки».
Чтобы сравнивать словесные значения между собой, для них необходимо установить ранги – их номера по убыванию субъективного предпочтения. По сути дела, установление рангов – это определение отношения предпочтения на совокупности слов, образующих множество значений вербального показателя. Ранг – это аналог сортности товара или занятого места в соревновании. Высший ранг равен 1, далее идут ранги 2, 3, и так далее до числа сравниваемых слов 
. Чем выше ранг, т. е. чем меньше его числовое значение, тем предпочтительнее («лучше», «качественнее») вербальное значение с этим рангом.
Процедура установления рангов называется ранжированием, или упорядочиванием. Ранжирование можно рассматривать как отображение множества слов во множество натуральных (целых положительных) чисел. Иногда, оговаривается требование, чтобы отображение слов в ранги было однозначным, т. е. равные ранги для разных слов не допускаются, но во многих приложениях, в том числе в рассматриваемом методе главного критерия, это требование не обязательно, и равные ранги вполне допустимы. Более того равенство рангов отражает вполне реальную ситуацию равенства предпочтений словесных значений.
Отношение предпочтения представляет собой содержательную частную интерпретацию математического отношения порядка. При этом, если равенство рангов допускается, то имеет место отношение нестрогого порядка, в противном случае – отношение строгого порядка.
Ранги устанавливаются с помощью таблицы парных сравнений, заполняемой баллами предпочтений, следующим образом:
1) строки и столбцы матрицы маркируются вербальными значениями (словами) или их сокращениями;
2) в диагональных ячейках располагаются нули – признаки эквивалентности значений;
3) в каждой наддиагональной ячейке размещается «1» (единица), – если по мнению ЛПР слово, маркирующее строку, предпочтительнее слова, маркирующего столбец; в противном случае, – если слово, маркирующее строку, уступает по качеству слову, маркирующему столбец, – ячейка заполняется «–1» (единицей со знаком минус);
4) каждая поддиагональная ячейка заполняются значением, противоположным значению ячейки, симметричной относительно диагонали, т. е. в ней помещается «–1», если симметричная ячейка содержит «1» и помещается «1», если симметричная ячейка содержит «–1»;
5) для каждой строки вычисляется сумма значений ячеек (баллов);
6) для каждой строки устанавливается ранг по сумме баллов: чем больше сумма, тем меньше ранг.
Естественно, при этом может сложиться ситуация, в которой некоторые вербальные значения наберут одинаковое число баллов. В этом случае, конечно же, можно решить задачу повторно – отдельно для этих значений, – но в контексте рассматриваемой задачи целесообразно всем значениям с одинаковыми суммами баллов назначить одинаковые ранги.
Поясняющий пример содержится в таблице 3. В этом примере цвета красный, белый и чёрный набрали одинаковую сумму баллов (равную нулю), поэтому и получили одинаковый ранг, равный двум – по порядку убывания сумм баллов: 4; 0; –4.
Изложенный выше способ ранжирования словесных значений ориентирован на общий случай, – когда число ранжируемых значений не менее четырёх. Если же количество упорядочиваемых слов мало – равно двум или трём, то ранжирование проще осуществить прямым выставлением рангов, как это показано в таблице 4.
Конечно же, ранжировать нужно только те словесные значения, которые представлены в таблице допустимых вариантов. Ранжировать все значения, содержащиеся в таблице исходных вариантов, смысла нет.
4. Формирование множества Парето
Таблица вариантов, образующих множество Парето, формируется путём удаления из Таблицы допустимых вариантов доминируемых вариантов.
Отношение домирования обозначается так: 
. Говорят, что вариант 
доминирует вариант 
, и соответственно вариант доминируется вариантом , если одновременно справедливы следующие два условия:
1) среди показателей качества варианта нет ни одного показателя, который был бы хуже соответствующего показателя варианта ;
2) хотя бы один из показателей качества варианта лучше соответствующего показателя варианта .
Таким образом, доминирующий и доминируемый варианты могут иметь равные показатели качества, но хотя бы по одному показателю первый лучше второго.
Таблица множества Парето не должна содержать доминируемых вариантов. Для её получения необходимо сравнить все строки друг с другом. Рекомендуется следующий алгоритм:
1) первая строка сравнивается со второй, третьей и так далее; если в процессе сравнения встретится доминируемая строка, то она получает признак удаления (в соответствующее поле строки записывается номер доминирующего варианта); если встретится доминирующая строка, то признак удаления получает первая строка и осуществляется переход на следующий пункт алгоритма;
2) вторая строка сравнивается с третьей, четвертой и так далее; если в процессе сравнения встретится доминируемая строка, то она получает признак удаления; если встретится доминирующая строка, то признак удаления получает вторая строка и осуществляется переход на следующий пункт алгоритма;
3) и так далее;
4) предпоследняя строка сравнивается с последней строкой; если последняя строка окажется доминируемой, то она получает признак удаления; если же последняя строка окажется доминирующей, то признак удаления получает предпоследняя строка;
5) все строки, получившие признак удаления, физически удаляются из таблицы.
Если Таблица множества Парето окажется состоящей из одной строки, то решение задачи получено.
Если Таблица множества Парето окажется состоящей из нескольких строк, то осуществляется переход к следующему этапу решения.
Таблица множества Парето для нашего примера представлена в таблице 5. Она отличается от таблицы допустимых вариантов только отсутствием варианта с номером 6. Этот вариант доминируется вариантом с номером 5 по частным критериям с номерами 3, 4, 5 и 10 – по объёму двигателя, времени разгона до 100 км/час, типу привода и стране-производителю.
Таблица множества Парето не пуста, не состоит из одного элемента, следовательно, необходимо выполнять следующий этап решения.
5. Установление рангов показателям (критериям)
Для выбора «лучшего» варианта по методу главного критерия необходимо установить ранги показателей (критериев) – их номера по убыванию важности согласно субъективному мнению ЛПР.
Совокупность показателей (критериев) – это, по сути дела, то же множество вербальных значений, поэтому ранги критериев устанавливаются с помощью уже рассмотренной ранее (см. п. 3) процедуры, основанной на использовании таблицы парных сравнений, заполняемой баллами предпочтений.
Для рассматриваемого примера возможный вариант таблицы парных сравнений частных критериев представлен таблицей 6. Результаты ранжирования представлены в таблице 7. Рассматривая таблицы 6 и 7, можно заметить следующее:
1) частный критерий «Расход топлива на 100 км» оказался наиболее важным для ЛПР; этот показатель качества набрал максимально возможную сумму баллов, поскольку победил во всех парных сравнениях;
2) частный критерий «Цвет» оказался совершенно не важным для ЛПР; этот показатель качества набрал минимально возможную сумму баллов, поскольку проиграл во всех парных сравнениях; если бы такое положение дел было бы известным заранее, то этот показатель можно было бы исключить из рассмотрения вовсе;
3) суммы баллов частных критериев равномерно убывают от 9 до –9.
6. Выбор варианта по методу главного критерия
Лучший вариант выбирается из таблицы вариантов множества Парето следующим образом:
1) выбирается лучший вариант по главному критерию – с наивысшим рангом (помним, что наивысший ранг имеет наименьший номер занимаемого места, – как у участников спортивных соревнований);
2) если находится единственный лучший вариант, то решение задачи получено;
Таблица 2. Таблица допустимых вариантов
Номер | Наименование | Год выпуска | Объем двиг. | Разгон до 100 км/час | Привод | Кузов | Число дверей | Цена | Цвет | Страна | Топливо на 100 км | Признак |
2 | Volkswagen Touareg | 2001 | 3.6 | 7.5 | полный | универсал | 5 | 355000 | красный | Германия | 13 | |
3 | Toyota Camry | 2007 | 2.4 | 7 | передний | седан | 4 | 715000 | серебристый | Япония | 10 | |
5 | Audi A6 | 2008 | 2.8 | 7 | задний | седан | 4 | 745000 | белый | Германия | 11 | |
6 | Nissan Teana | 2008 | 2.5 | 8 | передний | седан | 4 | 745000 | черный | Япония | 11 | 5 |
7 | BMW X 5 | 2001 | 3.0 | 6.5 | полный | хэтчбек | 5 | 740000 | синий | Германия | 14 |
Таблица 3. Определение рангов значений вербального критерия в общем случае
Цвет | Красный | Белый | Черный | Серебрис | Синий | Сумма | Ранг |
Красный | 0 | -1 | 1 | -1 | 1 | 0 | 2 |
Белый | 1 | 0 | -1 | -1 | 1 | 0 | 2 |
Черный | -1 | 1 | 0 | -1 | 1 | 0 | 2 |
Серебристый | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 4 | 1 |
Синий | -1 | -1 | -1 | -1 | 0 | -4 | 3 |
Таблица 4. Ранги двух и трёх вербальных значений
|
|
|
3) если выясняется, что несколько вариантов являются эквивалентными по главному критерию, то осуществляется переход к рассмотрению вариантов по главному из других критериев – следующему по установленным рангам;
4) если все варианты оказываются эквивалентными по всем критериям (что крайне маловероятно), то лучший вариант выбирается по жребию.
В рассматриваемом примере задачи выбора варианта главным критерием оказался показатель качества «Расход топлива на 100 км». Наилучшим и единственным вариантом по этому критерию является вариант «Toyota Camry», размещавшийся под номером 3 в таблице исходных вариантов.
Замечание: критерии с равными рангами можно использовать в любом порядке.
7. Анализ вариантов: дополнительное обоснование принятого
решения
Очевиден факт: для каждого из рассматриваемых альтернативных вариантов можно указать место, которое данный вариант занимает по каждому из частных критериев. Рассмотрим варианты множества Парето, расположив их в порядке убывания качества главного критерия и перечислив критерии в порядке убывания их рангов, выражающих значимость (важность) этих критериев для ЛПР (таблица 8).
Затем в таблице 8 каждое значение каждого частного критерия заменим на номер места, которое данное значение занимает в рамках данного критерия. В результате получим таблицу 9. [При всей внешней запутанности читаемого Вами в настоящий момент всё обстоит крайне просто. Рассмотрите внимательно таблицы 8 и 9, и всё поймёте.]
Дополнительное обоснование принятого решения (выбранного варианта) осуществим путем определения показателя, который назовём уровнем качества и обозначим буквой 
.
£Определение: уровень качества лучшего по главному критерию варианта – это лингвистическая метка, значение которой вычисляется по формуле:
где – общее количество частных критериев; 
– количество первых (по рангам) частных критериев, по сумме мест в которых лучший по главному критерию вариант сохраняет лидирующее положение.¢
Таблица 5. Таблица множества Парето
Номер 0 | Наименование 1 | Год выпуска | Объем двиг. | Разгон | Привод | Кузов | Число | Цена | Цвет | Страна | Топливо на 100 км | Признак удаления |
2 | Volkswagen Touareg | 2001 | 3.6 | 7.5 | полный | универсал | 5 | 355000 | красный | Германия | 13 | |
3 | Toyota Camry | 2007 | 2.4 | 7 | передний | седан | 4 | 715000 | серебристый | Япония | 10 | |
5 | Audi A6 | 2008 | 2.8 | 7 | задний | седан | 4 | 745000 | белый | Германия | 11 | |
7 | BMW X 5 | 2001 | 3.0 | 6.5 | полный | хэтчбек | 5 | 740000 | синий | Германия | 14 |
Таблица 6. Определение рангов частных критериев
Частный критерий | Год выпуска | Объем двиг. | Разгон до 100 км/час | Привод | Кузов | Число дверей | Цена | Цвет | Страна | Топливо на 100 км | Сумма баллов | Ранг |
Год выпуска | 0 | 1 | -1 | -1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 6 |
Объем дв-ля | -1 | 0 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -5 | 8 |
Разгон до 100 км/час | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | 3 | 4 |
Привод | 1 | 1 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | 1 | 5 |
Кузов | -1 | 1 | -1 | -1 | 0 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -3 | 7 |
Число дверей | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | -1 | 7 | 2 |
Цена | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | 0 | 1 | 1 | -1 | 5 | 3 |
Цвет | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 0 | -1 | -1 | -9 | 10 |
Страна | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 0 | -1 | -7 | 9 |
Топливо на 100 км | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 9 | 1 |
Таблица 7. Ранги частных критериев
Частный критерий | Топливо на 100 км | Число дверей | Цена | Разгон до 100 км/час | Привод | Год выпуска | Кузов | Объем двиг. | Страна | Цвет |
Ранг | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Сумма баллов | 9 | 7 | 5 | 3 | 1 | -1 | -3 | -5 | -7 | -9 |
Таблица 8. Лучший вариант и его конкуренты, расположенные по возрастанию главного критерия
Номер | Наименование | Топливо на 100 км | Число | Цена | Разгон | Привод | Год выпуска | Кузов | Объем двиг. | Страна | Цвет |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
3 | Toyota Camry | 10 | 4 | 715000 | 7 | передний | 2007 | седан | 2.4 | Япония | серебристый |
5 | Audi A6 | 11 | 4 | 745000 | 7 | задний | 2008 | седан | 2.8 | Германия | белый |
2 | Volkswagen Touareg | 13 | 5 | 355000 | 7.5 | полный | 2001 | универсал | 3.6 | Германия | красный |
7 | BMW X 5 | 14 | 5 | 740000 | 6.5 | полный | 2001 | хэтчбек | 3.0 | Германия | синий |
Таблица 9. Сравнение вариантов по местам и сумме мест
Номер | Наименование | Топливо на 100 км | Число | Цена | Разгон | Привод | Год выпуска | Кузов | Объем двиг. | Страна | Цвет | Сумма мест | |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Первых четырех | Общая | ||
3 | Toyota Camry | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 2 | 3 | 4 | 2 | 1 | 7 | 22 |
5 | Audi A6 | 2 | 2 | 4 | 2 | 2 | 1 | 3 | 3 | 1 | 2 | 10 | 22 |
2 | Volkswagen Touareg | 3 | 1 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 1 | 1 | 2 | 8 | 17 |
7 | BMW X 5 | 4 | 1 | 3 | 1 | 1 | 3 | 2 | 2 | 1 | 3 | 9 | 21 |
Значение , находится путём вычисления для каждого варианта суммы мест по двум, трём и так далее первым критериям – до тех пор, пока лучший вариант будет сохранять лидирующее положение.
В нашем примере лучший по главному критерию вариант № 3 сохраняет лидирующее положение по сумме мест, занимаемых по четырём первым критериям, т. е. в нашем примере 
. Поскольку общее количество учитываемых частных критериев равно 
, то имеем отношение 
. Полученное значение отношения 
согласно определению означает, что уровень качества выбранного варианта является отличным.
Это позволяет утверждать, что преимущество варианта № 3 достаточно убедительно.
По сумме всех мест лучшим среди всех вариантов является вариант № 2. Это могло бы служить основанием для дополнительного анализа, однако, существенный проигрыш (30 %) этого варианта по значению главного критерия варианту № 3 исключает его из списка кандидатов на квалификацию «лучший вариант».
8. Обоснование определения и использование понятия
уровня качества лучшего варианта
Заметим, что определение уровня качества имеет в качестве начального значения – «Удовлетворительный». Оценки «Не удовлетворительный» нет, Это объясняется тем, уровень качества оценивается для варианта, который уже категорирован как наилучший (занимающий первое место) по главному критерию.
Нижняя граница интервала значений отношения , соответствующего лингвистическому значению «Отличный», мала – всего 0,4. Это означает, что для признания уровня качества отличным вовсе не требуется наименьшая сумма мест по всей совокупности частных критериев. Заметим, что наименьшая сумма мест по всей совокупности критериев соответствует значению отношения 
. Согласно определению уровень качества категорируется отличным, если вариант имеет лучшую сумму мест всего по сорока процентам частных критериев.
