Практические занятия

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Занятие 1

ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

?? Что называется пределом числовой последовательности?

Что такое бесконечно малая (бесконечно большая) величина?

Какие свойства пределов числовых последовательностей используют при вычислении пределов?

Какой прием используется при вычислении пределов многочленов от n, а также пределов дробей, в которых числитель и знаменатель являются многочленами от n?

Какие приемы используют при раскрытии неопределенностей типа ?

Что такое предел функции в точке?

Какая функция называется непрерывной?

Какие свойства пределов функций используются при вычислении пределов?

Что такое I (II) замечательный предел?

Задания.

Используя свойства пределов, вычислите пределы числовых последовательностей:

1. . 7. .

2. . 8. .

3. . 9. .

4. . 10. .

5. . 11. .

6. . 12. .

13. Вычислите предел функции . Чем отличаются графики функций Чему равны значения этих функций в точке х = 3?

Используя свойства пределов, вычислите пределы функций:

14. . 25. .

15. 26. .

16. 27. .

17. 28. .

18. 29. .

19. . 30. .

20. . 31. .

21. . 32. .

22. . 33. , где

23. . 34. .

24. . 35. .

Домашнее задание.

Вычислите пределы числовых последовательностей:

36. . 42. .

37. . 43. .

38. . 44. .

39. . 45. .

40. . 46. .

41. . 47. .

Вычислите пределы функций:

48. . 53. .

49. . 54. .

50. . 55. .

51. . 56. .

52. . 57. .

Ответы к заданиям

1. 2. 10. +0. 19. . 28. 0.

2. . 11. 5. 20. 2. 29. .

3. +0. 12. 1. 21. . 30. –1.

4. . 13. 6. 22. 8. 31. .

5. . 14. . 23. 3. 32. .

6. . 15. . 24. . 33. 8.

7. . 16. ±0. 25. 0. 34. 24.

8. +0. 17. –2. 26. . 35. 1.

9. . 18. . 27. .

Ответы к домашнему заданию

36. . 42. –0. 48. –. 54. .

37. –0. 43. +0. 49. +0. 55. 0.

38. . 44. –0. 50. ±. 56. .

39. –2. 45. –. 51. –. 57. –8.

40. . 46. е5. 52. 2.

41. . 47. . 53. 5.

Занятие 2

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

?? Что такое производная функции в точке?

Какая операция называется дифференцированием функции?

В чем заключается физический и геометрический смысл производной?

Каковы основные правила дифференцирования функций?

Для чего используется правило Лопиталя?

?? Что называют точками экстремума функции и экстремумом функции?

Как определяются эти точки?

Что такое наибольшее (наименьшее) значение функции?

Как определяются наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (укажите алгоритм нахождения этих значений)?

Если функция имеет на заданном отрезке точки разрыва, то каким образом следует определять наибольшее и наименьшее значения?

Задания.

Используя правила дифференцирования и производные основных элементарных функций, определите производные следующих функций:

1. у = х3 – 3х. 7. .

2. . 8. .

3. . 9. .

4. . 10. .

5. . 11. .

6. . 12. .

Используя правило Лопиталя, вычислите пределы функций:

13. . 14. . 15. .

Найдите наибольшее и наименьшее значения следующих функций
(укажите точки, в которых достигаются эти значения):

16. у = на отрезке [–1; 2].

17. на отрезке .

Домашнее задание.

Определите производные следующих функций:

18. . 21. .

19. . 22. .

20. . 23. .

Используя правило Лопиталя, вычислите пределы функций:

24. . 25. . 26. .

Найдите наибольшее и наименьшее значения следующих функций
(укажите точки, в которых достигаются эти значения):

27. у = х4 – 8х2 +3 на отрезке [–2; 2].

28. а) на отрезке ;

б) на отрезке [–2; 2].

Ответы к заданиям

1. 2х2 – 3. 10. .

2. . 11. .

3. . 12. .

4. 6х2 – 2х. 13. ln2.

5. . 14. 0.

6. . 15. –3.

7. . 16. унаиб = у(0) = 3; унаим = у(2) = .

8. . 17. унаиб = ;

9. . унаим = .

Ответы к домашнему заданию

18. . 23. .

19. . 24. 1.

20. . 25. .

21. . 26. 2.

22. .

27. унаиб = у(0) = 3; унаим = у(–2) = у(2) = –13.

28. а) унаиб = у(0) = –1; унаим = .

б) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; 2] не достигаются, так как на этом отрезке функция не является непрерывной и в точках разрыва ее односторонние пределы равны . Например, .

Занятие 3

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

?? В чем заключается достаточное условие возрастания (убывания) функции?

Каково необходимое условие существования экстремума функции?

Как можно использовать вторую производную в исследовании функции?

Что такое асимптота функции? Какой аналитический вид имеют вертикальная и наклонная асимптота?

Как определяются вертикальная и наклонная асимптоты графика функции?

Как находятся точки пересечения графика функции с осями координат (с осью абсцисс и осью ординат)?

Какая функция называется четной (нечетной)?

Каким свойством обладает график четной (нечетной) функции? Как это можно использовать в процессе исследования функции?

Какова общая схема исследования функции?

Задание.

Исследуйте функции с помощью производной и постройте графики функций:

1. у = –х3 + 3х –2. 3. (кривая Гаусса).

2. . 4. .

Домашнее задание.

Исследуйте функции с помощью производной и постройте графики функций:

1. у = 3х2 – х3. 3. .

2. . 4. .

Ответы к заданию

1. ООФ: х Î R; ОЗФ: у Î R.

Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

Точки пересечения с осями координат: (0; –2), (–2; 0) и (1; 0).

Функция возрастает при –1 < х < 1; функция убывает при х < –1, х > 1.

х = –1 – точка локального минимума; f (–1) = –4.

х = 1 – точка локального максимума; f (1) = 0.

Асимптот у графика нет.

; .

2. ООФ: х ¹ 2; ОЗФ: у ¹ 1 (определяется после построения графика).

Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

Точки пересечения с осями координат: (–2; 0) и (0; –1).

х = 2 – точка разрыва графика функции; .

Функция не имеет интервалов возрастания; функция убывает при х < 2 и при х > 2.

Точек экстремумов у функции нет.

x = 2, у = 1 – асимптоты графика функции.

.

3. ООФ: х Î R; ОЗФ: у > 0.

Функция четная, следовательно, ее график симметричен относительно оси Оу.

Точка пересечения с осью ординат: (0; 1); точек пересечения с осью абсцисс нет.

Функция возрастает при х < 0; функция убывает при х > 0.

х = 0 – точка локального максимума; f (0) = 1.

у = 0 – наклонная асимптота графика функции.

.

4. ООФ: х ¹ ±1; ОЗФ: у Î R.

Функция нечетная, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

Точка пересечения с осями координат: (0; 0).

х = ±1 – точки разрыва графика функции; , .

Функция возрастает при х < – и при х > ; функция убывает при – < x < –1,
–1 < x < 1, 1 < x < .

х = – – точка локального максимума; f (–) = –.

х = – точка локального минимума; f () = .

х = 0 – не является точкой экстремума, хотя .

у = х – наклонная асимптота графика функции; х = ±1 – вертикальные асимптоты.

.

Ответы к домашнему заданию

1. ООФ: х Î R; ОЗФ: у Î R.

Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

Точки пересечения с осями координат: (0; 0), и (3; 0).

Функция возрастает при 0 < х < 2; функция убывает при х < 0, х > 3.

х = 0 – точка локального минимума; f (0) = 0.

х = 2 – точка локального максимума; f (2) = 4.

Асимптот у графика нет.

; .

2. ООФ: х Î R; ОЗФ: у Î R.

Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

Точки пересечения с осями координат: (0; 0), (; 0) и (; 0).

Функция возрастает при –2 < х < 0 и при х > 1;

функция убывает при х < –2 и при 0 < х < 1.

х = –2 и х = 1 – точки локальных минимумов; f (–2) = , f (1) = .

х = 0 – точка локального максимума; f (0) = 0.

Асимптот у графика нет.

.

3. ООФ: х Î R; ОЗФ: у Î [–1; 1] (определяется после построения графика).

Функция нечетная, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

Точка пересечения с осями координат: (0; 0).

Функция возрастает при –1 < х < 1; функция убывает при х < –1 и при х > 1.

х = –1 – точка локального минимума; f (–1) = –1.

х = 1 – точка локального максимума; f (1) = 1.

у = 0 – наклонная асимптота графика функции.

.

4. ООФ: х ¹ 0; ОЗФ: у Î R.

Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

Точка пересечения с осью абсцисс: (; 0); точек пересечения с осью ординат нет.

х = 0 – точка разрыва графика функции; .

Функция возрастает при х < 0 и при х > 1; функция убывает при 0 < х < 1.

х = 1 – точка локального минимума; f (1) = 3.

х = 0 – вертикальная асимптота; у = 2х – наклонная асимптота графика функции.

.