Тема работа: «Обобщение неравенства Хадвигера-Финслера»

Секция: «Фундаментальная и прикладная математика»;

Учебное заведение: Муниципальное общеобразовательное учреждение – лицей;

Тема работа: «Обобщение неравенства Хадвигера-Финслера»;

Автор: , 11 класс;

Почтовый адрес: 658130, Россия, Алтайский край, Алейский район, поселок Солнечный, ул. Березовая дом 10 кв. 1, тел.:[phone];

Научные руководители: 1) , доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры АГПА;

Домашний адрес: 656049, Россия, Алтайский край, город Барнаул, проспект Красноармейский, дом 67, кв. 57, ;

2) , учитель высшей категории МОУ – лицея;

Домашний адрес: 658130, Россия, Алтайский край, город Алейск, ул. Советская,

дом 102 Б, кв. 15, тел.:[phone].

Тезисы

Актуальность данной темы вытекает из того факта, что неравенства, связывающие между собой величины треугольника, недостаточно исследованы, а значит, представляют интерес для дальнейшего изучения, с целью расширения наших знаний в геометрии треугольника.

Объект исследования – геометрия треугольника.

Предмет исследования – неравенство Хадвигера–Финслера.

Цель исследовательской работы – усилить неравенство Хадвигера–Финслера.

Задачи исследования:

1. Доказать, что для произвольного треугольника АВС с длинами сторон a, b, c и площадью S справедливо неравенство

,

при этом равенство имеет место лишь в случае равностороннего треугольника АВС.

2. Доказать, что для произвольного треугольника АВС с длинами сторон a, b, c и площадью S справедливо неравенство

.

3. Определить: существует ли такое, что для любого треугольника справедливо неравенство

.

Методы исследования:

1.  Использование тождеств, неравенств, соотношений между элементами треугольника;

2.  Алгебраические преобразования и применение производной при доказательстве неравенств.

Полученные результаты:

Теорема 1. Для произвольного треугольника АВС с длинами сторон a, b, c и площадью S справедливо неравенство

,

при этом равенство имеет место лишь в случае равностороннего треугольника АВС.

Теорема 2. Для произвольного треугольника АВС с длинами сторон a, b, c и площадью S справедливо неравенство

,

при этом равенство имеет место лишь в случае равностороннего треугольника АВС.

Теорема 3. Не существует числа такого, чтобы для любого треугольника АВС с длинами сторон a, b, c и площадью S было справедливым неравенство

.

Полученные нами результаты оригинальны и не были замечены ранее в литературе.

Практическая значимость заключается в том, что доказанные нами теоремы могут быть использованы при составлении олимпиадных задач и задач для решения в математических кружках.

Список используемой литературы:

1.  A. Engel, Problem Solving Strategies, Springer Verlag, 1998.

2.  C. Lupu, C. Pohoată, Sharpening the Hadwiger–Finsler Ineguality, Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem, Volume 34, Issue 2, 2008,

3.  P. Finsler, H. Hadwiger, Einige Relationen im Dreick, Comm. Mat. Helv., 10(1937), p. 316 – 326.

4.  R. Weitzenböck, Über eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie,

Math. Z., 5(1919), p. 137–146.

5.  В. П. Солтан, С. Н. Мейдман, Тождества и неравенства в треугольнике, Кишинев, издательство “Штиинца”, 1982.

6.  Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом, Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум, Москва, издательство “Наука”, 1970.