Механика (стр. 10 )

Считая, что изгиб мал, момент сил напряжения принимаем приближенно равным величине

. (2)

Это приводит к следующему уравнению равновесия:

. (3)

Здесь ось OY направлена в сторону вогнутости, т. е. вниз. При этом условии вторая производная у", будет иметь положительный знак. Тогда обе части последнего соотношения имеют одинаковые знаки.

. (4)

Полученное дифференциальное уравнение решается последовательным интегрированием. Интегрируя это уравнение первый раз, получаем:

.

Постоянная интегрирования С1 = 0, так как если x = 0, т. е. в точке О, касательная к нейтральной линии горизонтальна. Интегрируя вторично и учитывая, что в точке О (т. е. если х = 0) у = 0, найдем у = у (х):

.

Таким образом, зависимость смещения точек при изгибе зависят от расстояния от точки закрепления в соответствии с уравнением:

(5).

Полагая, что здесь , находим стрелу прогиба (стрелой прогиба называют смещение свободного конца балки под действием сосредоточенной силы F (рис.30):

(6).

Величина I, называемая моментом инерции поперечного сечения бруса.

Для поперечного сечения бруса, имеющего форму прямоугольника с шириной а и высотой b, момент инерции поперечного сечения вычисляется по формуле (5.20):

,

тогда и .

Для цилиндрического бруса радиуса r момент инерции поперечного сечения вычисляется по формуле (5.21):

,

тогда и .

Как видно из расчетных формул стрела прогиба балки зависит от модуля упругости материала, расстояния между опорами и профиля поперечного сечения балки.

Исследование зависимости λ = λ(F), а затем и определение модуля Юнга по соответствующей формуле и является целью данной работы.

Выполнение работы.

1.  Провести исследование в соответствии с заданием преподавателя.

2.  Ha край жестко закрепленного с одной стороны стержня последовательно подвешивать грузы разной массы (рис.25).

3.  Для каждой подвешенной массы измерить стрелу прогиба.

4.  Построить график зависимости стрелы прогиба от силы тяжести груза λ = λ(mg).

5.  По графику по углу наклона α определить жесткость балки k = tgα.

или рассчитать по формуле:

6.  По формуле для определения модуля упругости рассчитать его численное значение:

для стержня прямоугольной формы: для стержня цилиндрической формы:

; .

.

7.  Свои результаты измерений и вычислений занести в таблицу 1,2.

8. Оценить погрешность измерений по формуле:

для стержня цилиндрической формы: для стержня прямоугольной формы:

; .

9. Записать результат: E = <E> ± DE, где DE = ε·<E>; ε= α %.

10. Сравнить полученный результат с табличным значением.

Таблица1 Измерение стрелы прогиба и определение модуля упругости

№/№	m, кг	Dm, кг	, м	D, м	, мм	, мм	k, н/м	Dk, н/м	E, а	DЕ, а	ε %
1
2
3

Таблица 1 Геометрические размеры стержня прямоугольной формы

,см	D ,см	a,см	Da,см	b,см	Db,см

Для стержня цилиндрической формы в таблице 2 оставить только четыре столбца, а ширину стержня а заменить диаметром стержня d.

На следующем этапе рассмотрим изгиб стержня только за счет собственного веса (рис.26). Для равновесия стержня необходимо, чтобы стена действовала на конец балки в точке О с силой, направленной вверх и равной ее весу Р. Проведем нормальное сечение через точку В(х) нейтральной линии с координатой ОВ=х. Ось ОХ направлена горизонтально.

При решении этой задачи мы будем исходить не из условия равновесия части балки ВА, а условием равновесия другой части балки, ОB. Пусть упругая сила F, действует на правый конец рассматриваемой части балки ОВ со стороны части ВА.

(Р)

Рис.26.

Вес части ОВ равен . Для равновесия этой части должно выполняться следующее условие:

. (7)

Из этого условия найдем упругую силу F в зависимости от координаты х:

. (2)

На выделенный элемент балки dξ; действует сила тяжести

. (3)

Момент М1 всех вертикальных сил, действующих на часть балки ОB, не зависит от положения оси, относительно которой он берется, так как балка находится в состоянии равновесия. Возьмем в качестве таковой ось, проходящую через точку О, которая совпадает с концом балки. Тогда для момента сил получим выражение:

. (4)

В последней формуле отрицательный знак появляется в связи с заменой силы Р на силу F, которые равны по величине, но противоположны по направлению.

Кроме того, в формулу момента сил надо добавить еще момент горизонтальных сил упругих напряжений, действующих на закрепленный конец О. Обозначая этот момент М2, для полного момента сил, действующих на часть ОВ, можем записать

. (5)

Момент горизонтальных упругих напряжений М2 можно найти из условий равновесия всей балки ОА. На ее свободном конце не действуют никакие силы и упругие напряжения. Поэтому, полагая в последней формуле х = , мы найдем полный момент сил, действующих на всю балку. В состоянии равновесия балки этот момент должен быть равным нулю, т. е.

.

Отсюда находим значение М2 : . (6)

Подставив это значение в формулу для полного момента, получим:

. (7)

Теперь уравнение равновесия части балки ОB принимает вид:

. (8)

Решаем это дифференциальное уравнение при следующих условиях:

1)  y = 0, если х = 0, так как эта точка принята за начало отсчета системы координат;

2)  у' = 0, если х = 0, так как в этой точке функция принимает экстремальное значение.