Теория вероятности

Теория вероятности

1.Пространство элементарных событий

Пространство элементарных событий — множество всевозможных исходов одного эксперимента.

Исход—результат эксперимента.

Случайный эксперимент—процесс, который мы наблюдаем согласно четко определенной процедуре, но который может привести к неизвестному заранее результату.

Испытание—единичное осуществление какого –либо эксперимента.

Любой исход эксперимента—элементарное событие.

Ω –все пространство элементарных событий.

2.Классификация событий.

Достоверное событие– все пространство элементарных событий.

Невозможное событие – событие соответствующее исходу, который невозможен при осуществлении эксперимента.

Пространство элементарных событий – множество всевозможных исходов одного эксперимента.

Элементарное событие – любой исход эксперимента.

3.Понятие об σ- алгебре.

σ-алгебра ­– сумма всех возможных событий, построенных на объединении, пересечении событий, которые принадлежат элементарным событиям.

– алгебра

События: – упала решка;

– упал орел;

(и) – и то и то упало;

0 – кинул – “нет”.

4.Аксиомы теории вероятности.

1. ;

2.

3. ;

4.=

Вероятность – это мера случайного процесса.

Вероятность – неотрицательная величина.

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей.

5.Классический метод задания вероятности.

Вероятность ­­– степень возможности наступления случайного события, которое соизмеряется с тем, какую часть от единицы оно составляет.

«Классическое определение вероятностей» – подсчет вероятностей произвольных событий в пространстве равных вероятностей.

Вероятность произвольного события А в пространстве равных вероятностей – есть отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А к числу элементарных событий во всем пространстве

6.Условная вероятность.

Условная вероятность–это вероятность события А, при условии, что событие В произошло.

7.Формула полной вероятности.

Например, имеется 3 метода измерений, тогда:

Р(Е1) – вероятность грубых ошибок в методе 1;

Р(Е2) – вероятность проявления таких же ошибок в методе 2;

Р(Е3) – вероятность проявления таких же ошибок в методе 3;

Р(А/Е1) – вероятность качественного исполнения работ при 1методе;

Р(А/Е2) – вероятность качественного исполнения работ при 2методе;

Р(А/Е3) – вероятность качественного исполнения работ при 3методе;

Вероятность качественного исполнения работ – полная вероятность:

8.Формула Байеса.

.

9.Понятие случайной величины.

Случайная величина – это есть функция случайного события.

Вероятностное пространство – это ( Ω, F, P)

1. Ω –алгебра событий

2. F – множество элементарных событий

3. P – вероятность каждого из событий

10.Функция распределения.

F(X)=P(X≤x)

Функцией распределения называется вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее некоторого ее заданного значения х.

11.Дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайная величина – это величина, которая при проведении опытов принимает числовое значение, заранее неизвестно какое.

Дискретная случайная величина – такая случайная величина, возможное значение которой можно заранее указать.

Непрерывная случайная величина – такая случайная величина, возможные значения которой заполняют некоторый промежуток на числовой оси и не могут быть перечислены заранее.

12.Плотность распределения вероятности.

Плотность распределения вероятности– это производная функции распределения.

.

13. Распределение функций одномерных случайных величин

Вероятность попадания точки iх в интервал DХ равна вероятности попадания точки iу в интервал DУ.

¦у – плотность функции ;

¦х – плотность аргумента Х.

14. Числовые характеристики одномерной случайной величины.

Е – математическое ожидание:

Д – дисперсия:

s – среднее квадратическое отклонение:

15. Определение многомерной случайной величины.

х1, х2 ,…, хn –случайные величины

16. Функция распределения и плотность распределения непрерывной многомерной случайной величины.

Х1,Х2 – появляются совместно;

Функция распределения: F(Х1,Х2) = Р(Х1< х1Ç х2< Х2);

Плотность распределения:

17.Числовые характеристики многомерных случайных величин.

М – математическое ожидание;

К – корреляционная матрица;

18.Центральная предельная теорема.

Если случайная величина состоит из суммы Хк, то ее распределение приближается к нормальному распределению.