II курс заочного отделения (4-й семестр обучения)

II курс заочного отделения (4-й семестр обучения).

Образец № 1 решения задачи

Задача.

Дано:

α = 30 0; H1 = 15 м; H2 = 10 м;

P = 0,4 МПа; D = 6 м;

ρ = 1,2·10 3 кг/м3;

[σ] = 100 МПа.

Для заданных расчетных схем и числовых данных построить эпюры окружных и меридианных напряжений и по III гипотезе прочности определить толщину δ стенки сосуда, считая ее на всех участках одинаковой.

1) Тонкостенный сосуд разбивается на участки 1 – 3, как указано на рисунке.

Составим уравнения для определения и на каждом из участков. Для этого записываем уравнение Лапласа в точках, расположенных внутри участков I – III, и составляем уравнения отсеченных частей сосуда, проводя поперечные сечения внутри участков I – III.

2а) Участок 1: положение точки оболочки будем задавать её расстоянием z вдоль оси симметрии от вершины конуса, при этом .

Уравнение Лапласа имеет вид: , где для конуса , , ― тангенциальное напряжение, ― меридиональное напряжение. Отсюда получаем:

тангенциальное напряжение .

Меридиональное напряжение нельзя определить из уравнения Лапласа. Используем метод сечений ― запишем уравнение равновесия отсеченной части сосуда в проекции на вертикальную ось:

,

откуда находим:

меридиональное напряжение .

2б) Участок 2: положение точки оболочки будем задавать её расстоянием z вдоль оси симметрии от точки сопряжения конуса и цилиндра, при этом .

Уравнение Лапласа имеет вид: , где для цилиндра , , ― тангенциальное напряжение, ― меридиональное напряжение. Отсюда получаем:

тангенциальное напряжение .

Меридиональное напряжение нельзя определить из уравнения Лапласа. Используем метод сечений ― запишем уравнение равновесия отсеченной части сосуда в проекции на вертикальную ось:

,

откуда находим:

меридиональное напряжение .

2с) Участок 3: положение точки оболочки будем задавать её расстоянием z вдоль оси симметрии от уровня жидкости, при этом .

Уравнение Лапласа имеет вид: , где для цилиндра , , ― тангенциальное напряжение, ― меридиональное напряжение. Отсюда получаем:

тангенциальное напряжение .

Меридиональное напряжение нельзя определить из уравнения Лапласа.

Используем метод сечений ― запишем уравнение равновесия отсеченной части сосуда в проекции на вертикальную ось:

,

откуда находим:

меридиональное напряжение .

3) Строим эпюры тангенциальных и меридиональных напряжений:

А) на первом участке и линейно возрастают с ростом z, причем тангенциальное напряжение в два раза больше меридионального. При получаем:

тангенциальное напряжение .

меридиональное напряжение .

Б) на втором участке и постоянны и от z не зависят, при этом тангенциальное напряжение в два раза больше меридионального. Имеем:

тангенциальное напряжение ,

меридиональное напряжение .

В) на третьем участке линейно растет с ростом z, а постоянно и равно значению на втором участке. Максимальное значение достигается при . Имеем:

при тангенциальное напряжение ,

при тангенциальное напряжение ,

меридиональное напряжение .

4) Определяем толщину стенки:

А) На первом участке при любом z > > 0, поэтому условие прочности при любом z принимает вид:

.

Наиболее нагруженная точка находится там, где достигает наибольшего значения, т. е. при . Отсюда получаем:

Б) На втором участке при любом z > > 0, поэтому условие прочности при любом z принимает вид:

.

Т. к. и постоянны, то все точки равнопрочны, и получаем:

С) На третьем участке при любом z > > 0, поэтому условие прочности при любом z принимает вид:

.

Наиболее нагруженная точка находится там, где достигает наибольшего значения, т. е. при . Отсюда получаем:

Окончательно получаем:

выбираем

Образец № 2 решения задачи

Задача.

Для схемы химического аппарата (рис.1) рассчитать толщину стенки из

условия прочности, если известно:

R = 2м; D = 4м; H1 = 5м; H2 = 2м; H3 = 1м; h = 6м; 2a =900; p = 0,3 МПа;

r = 1400кг/м3; [s] = 100 МПа.

Решение.

Для решения этой задачи разделим наш аппарат условно на пять участков (рис. 1).

Участок Ι. Сфера.

Для решения воспользуемся уравнением Лапласа

.

Так как rt=rm=R и st=sm (абсолютная симметрия) то уравнение Лапласа можно представить, как

.

Следовательно

МПа.

Участок ΙΙ. Цилиндрическая часть аппарата над опорой под действием внутреннего избыточного давления р. За начало отсчёта координаты z примем точку пересечения полусферы с осью симметрии сосуда (осью z). Положительное направление координаты z – от сферы к опоре. Текущая координата меняется от 0 до Н3.

Уравнение Лапласа . На этом участке ρм= ∞, следовательно и уравнение Лапласа примет вид или .

Из последнего выражения определяем МПа.

Для нахождения значения sm необходимо составить дополнительное уравнение. Воспользуемся методом сечений. Для этого в области второго участка проводим секущую плоскость, отбрасываем ту часть сосуда, у которой имеется опора и к оставшейся части прикладываем все силы, действующие на этот элемент (рис. 2).

Составляем уравнение всех сил, прило-

женных к этому элементу:

. Следовательно, МПа.

На втором участке st и sm не зависят от координаты z. Следовательно они постоянны по всей длине участка.

Участок ΙΙΙ.

Этот участок находится ниже опоры и представляет собой цилиндри-ческую оболочку под действием внутреннего избыточного давления.

За начало отсчета координаты z примем точку пересечения оси с плоскостью, проходящей через опоры. Положительное направление оси вниз.

Текущая координата меняется от 0 до (H1+H2-h).

В уравнении Лапласа , , и , а

уравнение приобретает вид . Следовательно

МПа.

Для нахождения σm необходимо составить

дополнительное уравнение. Воспользуемся ме-

тодом сечений. Проведём секущую плоскость

в области третьего участка, отбросим часть со-

суда с опорой (верхнюю часть), а к оставшейся

приложим все действующие на неё силы (рис.3)

Составим уравнение суммы всех сил на ось z.

.

Здесь - вес жидкости в цилиндрической части аппарата,

- вес жидкости в конической части аппарата.

Подставив в уравнение значения Gц и Gк получим

После простых математических преобразований определим значение sm

МПа.

На третьем участке st и sm не зависят от координаты z. Следовательно они постоянны по всей длине участка.

Участок ΙV.

Четвертый участок – это участок аппарата заполненного жидкостью. На этом участке стенки аппарата подвержены совместному действию из-быточного газового давления (p) и гидростатического давления жидкости (p*). За начало отсчета координаты z примем пересечение поверхности жидкости с осью симметрии. Положительное направление оси z вниз.

Уравнение Лапласа для этого участка будет выглядеть следующим образом:

.

Так как rm= ∞, p*= p+pг= р+rgz, ,

то уравнение Лапласа примет вид

. Из этого получим:

.

При z=0, МПа.

При z=(h-H2) МПа.

Анализ полученных результатов показывает, что st на этом участке монотонно возрастает.

Для определения значений sm необходимо составить дополнительно уравнение. Воспользуемся методом сечений. На данном участке проведем

секущую плоскость, отбросим отсеченную часть с опорой (верхнюю часть), а к оставшейся части приложим все действующие силы (рис.4).

Составим уравнение суммы проекции всех сил, действующих на данный элемент, на оcь z.

. Здесь - вес жидкости в конической части аппарата, - вес части жидкости в аппарате ниже секущей плоскости. После подстановки получим

В результате несложных математических преобразований, получаем

Последнее уравнение показывает, что sm от координаты не зависит и

остается постоянной по всей длине этого участка.

Участок V.

Пятый участок - это участок конического дна химического аппарата. За начало отсчета текущей координаты z выберем точку вершины коничес-кого дна. Положительное направление оси z вверх. Текущая координата меняется от 0 до Н2. Уравнение Лапласа для этого участка:

. В этом

уравнении ,

, , (рис. 5).

Сделав в уравнении Лапласа соответствующие подстановки, получим . Из этого .

Если z = 0 то Если z = H2 то.

МПа.

Уравнение st является уравнением квадратичной параболы, поэтому необходимо убедиться, что значение 1.004/d является максимальным на этом участке. Для этого необходимо определить координату максимума этой функции. Возьмем первую производную функции st по dz и приравняем её 0.

. После дифференцирования получим Из этого выражения не сложно определить координату положения максимума функции. Zmax= 13.9 м. Иными словами, максимум функции лежит за пределами конического дна и

st= 1.004/d максимальное на этом участке.

Для определения значений sm необходимо

составить дополнительное уравнение. Воспользуемся методом сечений. Проведем секущую плоскость в области днища, отбросим верхнюю часть, а к оставшейся приложим все силы, действующие на этот элемент (рис.5). Составим уравнение суммы всех сил в проекции на ось z.

.

Здесь Gк – вес жидкости в конической части аппарата ниже секущей

плоскости

После подстановок получим

Решив это уравнение относительно sm, получим

.

При z = 0 sm= 0.

При z = H2

=МПа

Уравнение st является уравнением квадратичной параболы, поэтому необходимо убедиться, что значение 0.515/d является максимальным на этом участке. Для этого необходимо определить координату максимума этой функции. Возьмем первую производную функции sm по dz и приравняем её 0.

Из этого выражения легко определить координату максимума функции.

zmax= 17.13м. Это показывает, что значение sm = 0.515/d МПа на этом

участке максимальное. На рис. 7 представлена схема распределения напряжений st и sm по периметру корпуса оболочки. Напряжения положительные, так как стенки корпуса аппарата под действием внутреннего избыточного давления растягиваются.

Представленная схема показывает, что наиболее нагруженным сечением является место перехода от цилиндрической части сосуда к конической. Так как в данном месте имеются два напряжения st и sm (плосконапряженное состояние), то приходится использовать гипотезы прочности. В этом сечении напряжения st и sm являются главными (st= s1, sm= s2 и s3= 0).

По третьей гипотезе прочности эквивалентное напряжение

. Следовательно

м =

= 10 мм.

По четвертой гипотезе прочности

. Иэ этого d=м =

= 8.52мм.