Уравнения и системы уравнений с параметрами

МИФ-2, №1, 2000 год

Математика, 11 класс

Уравнения и системы уравнений с параметрами

Рассмотрим уравнение

1.  Если ставится задача отыскать все пары , при которых уравнение превращается в верное равенство, то имеем уравнение с двумя неизвестными x и a.

2.  Если же рассматривать a как некоторое фиксированное число, а x – переменную, то говорят об уравнении с одним параметром. В этом случае ставится задача: для каждого а из некоторого множества А решить уравнение относительно переменной x. Множество А называют областью изменения параметра а.

Например: Пусть дано уравнение

и пусть область изменения параметра а: тогда уравнение имеет вид:

В дальнейшем, если не оговорено обратное, под областью изменения параметра будем понимать все значения aÎR, при которых имеет смысл уравнение. Поэтому, чтобы решить уравнение с параметром, выделяют “контрольные значения параметра”, при которых происходит качественное изменение уравнения.

Пример 1. Решим уравнение: (1)

Решение. Уравнение (1) – линейное уравнение. Качественное изменение уравнения происходит при тех значениях а, при которых коэффициент при x обращается в ноль. То есть, контрольные значения параметра:

1)  При а=0 уравнение примет вид:

Это уравнение не имеет решений.

2)  При а=1 уравнение имеет вид:

Это уравнение имеет бесконечно много решений, решение – любое xÎR.

3)  Если а¹0, а¹1, то уравнение имеет единственное решение:

Ответ: При а=0 уравнение не имеет решений. При а=1 уравнение имеет решением любое xÎR. При а¹0, а¹1 уравнение имеет единственное решение

Аналогично рассматривается уравнение с двумя параметрами. Ставится задача: для всех возможных значений параметров a и b найти решения x уравнения. Обычно, параметр обозначается буквами: a; b; c; k; p; q.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. 1. Пусть Тогда - единственное решение.

2. Пусть , то есть , то:

а) при а=3 имеем: - нет решений.

b) при а=-3 имеем: - любое xÎR – решение.

Ответ: При а¹±3 уравнение имеет единственное решение при а=3 уравнение не имеет решений; при а=-3 уравнение имеет решением любое xÎR.

Пример 3. Решить уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения:

;

а) Если а+b=0,то есть a=-b, тогда тогда x=0.

b) Если a+b¹0, то

Ответ: x=0 при a=-b¹0; x=a+b и при a¹-b, a¹0, b¹0.

Пример 4. Решить уравнение:

Решение. Область допустимых значений: x¹a; ab¹1.

выполнив преобразования, получим:

a)  Если а=0, то x – любое, отличное от нуля.

b)  Если а¹0, b=0, то уравнение не имеет решений.

c)  Если ab¹0, ab¹1, то

Пример 5. При каких значениях а уравнение:

имеет равные корни?

Решение. Квадратное уравнение имеет равные корни, если его дискриминант равен 0, то есть:

Ответ: Уравнение имеет равные корни при а=2 и а=

Пример 6. При каких значениях m уравнение не имеет действительных корней?

a) 

b) 

Решение. Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен.

a)  или

Ответ:

b) 

Ответ:

Пример 7. При каких значениях k уравнение: имеет два действительных различных корня?

Решение. Корни действительные и различные получаются при положительном дискриминанте.

Ответ:

Пример 8. Решить систему уравнений:

Решение. Заменим первое уравнение системы суммой уравнений, а второе – разностью уравнений системы.

После преобразований имеем:

или

Û

(2):

1) Если а³0, то: или

2)  Если а<0, то нет решений.

(3):

1) Если а³0, то: или

2)  Если а<0, то нет решений.

(4): Û - совпадает с системой (2).

Ответ: Если а<0, то если а³0, то

Задачи для самостоятельного решения

Ниже приводятся тексты заданий для самостоятельного решения. Вам необходимо решить эти задачи, оформить решения отдельно от решений по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

Решите уравнения:

М11.7.1.

М11.7.2.

М11.7.3.

М11.7.4.

М11.7.5. При каких значениях а уравнение не имеет действительных корней?

М11.7.6. При каких значениях а уравнение имеет равные корни?

М11.7.7. При каких значениях а один корень уравнения в девять раз больше другого?

М11.7.8. В уравнении найдите р так, чтобы сумма квадратов его корней была равна 16.

М11.7.9. Найдите сумму кубов корней уравнения .

М11.7.10. Вычислите где x1 и x2 – корни уравнения

М11.7.11. При каком наименьшем целом а трехчлен положителен при всех значениях x?

М11.7.12. Найдите все значения а, при которых оба корня уравнения больше 3.

М11.7.13. Найдите коэффициенты p и q уравнения так, чтобы его корни были равны p и q.

М11.7.14. Решить систему уравнений

М11.7.15. Решить систему уравнений