Задача. Муха в банке. Муха забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли муха последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру. Подпрыгивать и перелетать с места на место не разрешается.
Задача. На рисунке изображена схема зоопарка (вершины графа - вход, выход, перекрестки, повороты, тупики; ребра – дорожки, вдоль которых расположены клетки). Назовите маршрут, по которому экскурсовод мог бы провести посетителей, показав им всех зверей и не проходя более одного раза ни одного участка пути.
1 Вход 4 8 7
2 3 5 6 10
12 11 9
13
14 Выход
Задача. В бюро по туризму составляются маршруты путей для автотуристов, которые должны проехать из пункта S в пункт R и по пути осмотреть все местные достопримечательности. Помогите бюро составить такой маршрут, чтобы туристы в каждый из указанных пунктов попадали не более одного раза. Существует ли хотя бы один такой маршрут? Сколько их может быть при данной схеме дорог? Выпишите последовательность пунктов для каждого найденного маршрута.
А В
C
S
 |
 |
D E F R
 |
H
Задача. В бюро по туризму составляются маршруты путей для автотуристов, которые должны проехать из пункта S в пункт R и по пути осмотреть все местные достопримечательности. Помогите бюро составить такой маршрут, чтобы туристы в каждый из указанных пунктов попадали не более одного раза. Существует ли хотя бы один такой маршрут? Сколько их может быть при данной схеме дорог? Выпишите последовательность пунктов для каждого найденного маршрута.
S
R
Задача. На рисунке изображена схема, на которой точкой отмечен магазин, а остальными вершинами места жительства заказчиков. Как шоферу машины “Доставка на дом” объехать всех заказчиков, не подъезжая к одному дому более одного раза.
М
1
 |
2 9
6
3 5 7 8
4
Задача. Участники пионерского слета, познакомившись, обменялись конвертами с адресами. Докажите, что:
а) всего было передано четное число конвертов;
б) число участников, обменявшихся конвертами нечетное число раз, четно.
Задача. В обществе, состоящем из 1982 человек, среди любых четырех человек можно выбрать по крайне мере одного, знакомого с остальными тремя. Каково минимально возможное количество людей, которые знакомы со всеми.
Задача. В некотором обществе любые два знакомых не имеют общих знакомых, а любые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых. Доказать, что в этом обществе все имеют одинаковое число знакомых.
Задача. В любой из трех школ учится по n человек. Любой ученик имеет в сумме n+1 знакомых учеников из других школ. Доказать, что можно выбрать по одному ученику из каждой школы так, чтобы все трое выбранных учеников были знакомы друг с другом.
Задача. Утверждают, что в одной компании из пяти человек каждый знаком с двумя и только двумя другими. Возможна ли такая компания?
Задача. 7 школьников разъезжаясь на каникулы договорились, что каждый из них пошлет открытки трем из остальных. Может ли оказаться, что каждый получит открытки именно от тех друзей, которым пошлет сам?
Задача. В компании, состоящей из пяти человек, среди любых трех человек найдутся двое, которые знают друг друга, и двое, незнакомых друг с другом. Доказать, что компанию можно рассадить за круглым столом так, чтобы по обе стороны от каждого человека сидели его знакомые.
Задача. Девять математиков встретились на международной конференции и обнаружили, что среди любых трех из них, по меньшей мере, двое говорят на одном языке. Кроме того, каждый математик может говорить не более чем на трех языках. Доказать, что хотя бы три из них говорят на одном и том же языке.
Задача. В комнате находится 10 человек, причем среди любых трех из них есть двое знакомых между собой. Доказать, что: а) найдутся четыре человека, любые два из которых знакомы друг с другом; б) останется ли утверждение верным, если число 10 заменить на число 9?
Задача. В поселке живут 100 жительниц. У каждой из них имеются 3 знакомые жительницы. Первого января одна узнала интересную новость и сообщила ее 3 своим знакомым; 2 января те сообщили новость всем своим знакомым и т. д. Может ли случиться так, что 5 марта еще не все жительницы будут знать эту новость, а 19 марта – все?
Задача. Лист бумаги Плюшкин разрезал на 3 части. Некоторые из полученных листов он также разрезал на три части. Несколько новых листиков он вновь разрезает на три более мелкие части и т. д. Сколько Плюшкин получает листков, если разрезает k листков?
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
