8.1.  Разностный метод для уравнения колебаний

8.1.1.  Уравнение колебаний струны. Явная схема

Рассмотрим задачу о малых колебаниях натянутой струны с распределенной по длине нагрузкой f(x, t) (см. рис. 8.1):

(8.11)

(8.12)

(8.13)

Рис.8.1.

Струна совершает плоские колебания, т. е. точки струны перемещаются параллельно плоскости t = 0.

Функция u(x, t) выражает смещение точки x струны в момент времени t от прямолинейной формы.

Начальные условия (8.12) означают следующее. Форма струны в начальный момент времени t = 0 выражается функцией μ(x). Скорость перемещения точки x струны в момент времени t = 0 равна значению функции μ0(x).

Краевые условия (8.13) говорят о том, что левый конец струны с течением времени совершает смещение μ1(t), а правый конец — смещение μ2(t).

Если концы струны закреплены, то μ1(t) = μ2(t) = 0.

Мы предполагаем, что начальные условия (8.12) и краевые условия (8.13) должны быть согласованы между собой в угловых точках, т. е. выполнены условия .

На рис. 8.1 представлен случай, когда , .

Введем сеточную область (рис.8.2, a)). В прямоугольной области зададим точки:

(8.14)

Рассмотрим уравнение (8.11) в точках , , , и заменим производные разностными формулами

, (8.15)

Обозначим через приближенные значения искомой функции в точках . Тогда из уравнения (8.11) получим разностное уравнение (разностную схему), которое аппроксимирует уравнение (8.11) с порядком O(h2 + τ2):

(8.16)

Рис. 8.2

На рис. 8.2 b) изображен шаблон «крест» разностного уравнения (8.16). Разностное уравнение (8.16) связывает значения неизвестной функции на трех слоях (k – 1, k, k + 1).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

На слое k = 0 заданы начальные условия (8.12), из которых следует, что

. (8.17)

Чтобы найти значения неизвестной функции на слое k = 1, используем условие для производной ut(x, 0) из (8.12). Для этого построим разложение в ряд Тейлора

. (8.18)

Из уравнения (8.11), учитывая первое условие в (8.12), выразим вторую производную

. (8.19)

Теперь, учитывая условие в (8.12), из (8.18), (8.19) выводим формулу для вычисления значений функции на первом слое:

. (8.20)

С учетом (8.13), окончательно получим для приближенных значений искомой функции на первом слое формулы

. (8.21)

Учитывая граничные условия (8.13) из (8.16) выводим формулы для вычисления значений на слоях :

(8.22)

Мы получили явные формулы (8.17), (8.21), (8.22) решения разностной задачи.

Разностная схема называется устойчивой, если она имеет единственное решение и малым изменениям исходных данных отвечают малые изменения решения.

Приведем без доказательства (доказательство можно найти в [9]) следующий факт: для выполнения условия устойчивости разностной схемы (8.16) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Куранта cτ < h.

Будем говорить, что решение разностной схемы (8.16) сходится к решению исходной задачи (8.11) — (8.13), если выполняется условие:

Если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную задачу, то решение разностной схемы сходится к решению задачи [16].

Сформулируем алгоритм решения задачи о колебаниях струны (8.11) — (8.13) с помощью явной разностной схемы (8.16).

Алгоритм решения задачи для уравнения колебаний струны с помощью явной разностной схемы.

1. Построить сеточную область

выбирая шаги h и τ так, чтобы выполнялось условие устойчивости (условие Куранта) cτ < h.

2. Вычислить значения ui,k искомой функции для k = 0, 1:

(8.23)

3. Вычислить значения ui,k для :

(8.24)

8.1.2.  Уравнение колебаний струны. Неявная схема

Построим неявную схему для уравнения колебаний струны (8.11):

(8.25)

Для устойчивости схемы (8.25) параметры c, h, τ, σ должны удовлетворять условию [9]

.

Если ¼ ≤ σ ≤ 1/2, то схема (8.25) безусловно устойчива.

Шаблон схемы (8.25) изображен на рис. 8.3.

Рис. 8.3

Значения решения на нулевом и первом слоях вычисляют по формулам (8.22), (8.23). На каждом k-ом слое (k = 2, 3, …, M) решают методом прогонки систему уравнений относительно :

(8.26)

Алгоритм решения неявной разностной схемы для уравнения колебаний струны.

0. Построить сеточную область, выбирая шаги h, τ и параметр σ так, чтобы выполнялось условие устойчивости

.

Если ¼ ≤ σ ≤ 1/2, то можно выбирать h, τ произвольно.

1. Вычислить значения ui,k искомой функции для k = 0, 1:

(8.27)

(8.28)

2. Значения ui,k+1 для каждого k > 0 находим методом прогонки, последовательными вычислениями в несколько этапов.

2.1. Вычислим правые части (8.26):

(8.29)

2.2. Вычислим прогоночные коэффициенты:

(8.30)

(8.31)

(8.32)

2.3. Вычислим решение ui,k+1:

(8.33)

(8.34)

Отметим преимущества неявной схемы перед явной схемой:

В явной схеме надо выбирать шаги h и τ так, чтобы выполнялось условие устойчивости (условие Куранта) cτ < h. В неявной схеме можно выбирать шаги h и τ произвольно, если параметр σ принадлежит отрезку
[1/4; 1/2].