НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ЛИЦЕЙ №36

Научно-исследовательская работа на тему:

«О некоторых подходах к моделированию клотоиды как переходной кривой в железнодорожных путях»

Выполнил: ученик 11 класса «В»

Родионов Егор

Научный руководитель:

кандидат технических наук, доцент по кафедре «Технология машиностроения», руководитель лаборатории Информационных технологий института Авиамашиностроения и транспорта Национального исследовательского Иркутского государственного технического университета

ИРКУТСК 2011
Оглавление

Введение. 3

1. Основные понятия и определения. 5

2. Методы построения клотоиды.. 6

2.1. Классические подходы к построению клотоиды.. 6

2.2. Дифференциально-геометрический подход. 7

2.3. Математический алгоритм построения клотоиды методом натуральной параметризации 9

3. Моделирование плана железнодорожного пути. 9

3.1. Случай восстановления клотоиды, связывающей прямые участки дороги с дугами окружностей 9

3.2. Математический алгоритм восстановления клотоиды, связывающей прямые участки дороги с дугами окружностей. 10

Заключение. 12

Литература. 13

Приложение 1. 14

Введение

Железнодорожный путь – это комплекс сооружений и устройств, образующих дорогу с направляющей рельсовой колеей для движения железнодорожного подвижного состава. Одним из основных элементов железнодорожного пути является верхнее строение пути, состоящее из плана и профиля пути. План пути представляет собой проекцию оси пути на горизонтальную плоскость, а продольный профиль — вертикальный разрез по его оси. Железнодорожные пути состоят из прямых и кривых, горизонтальных и наклонных участков.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для плавного перехода подвижного состава с прямого на кривой участок железнодорожного пути в местах сопряжений устанавливаются переходные кривые с постепенно изменяющимся радиусом. В качестве этих кривых используется радиоидальная спираль – клотоида. Она имеет переменную кривизну, плавно изменяющуюся между значениями кривизны на ее концах, где они совпадают с кривизной сопрягаемых элементов плана пути (в случае прямых значение кривизны нулевое). Предназначение переходной кривой в том, чтобы кривизна трассы пути изменялась плавно, а не скачкообразно в месте сопряжения элементов пути с разной кривизной (прямая и круговая кривая, круговые кривые разных радиусов или направленные в разные стороны в виде буквы S (обратные кривые)).

При резком изменении кривизны пути поперечные силы, действующие на подвижной состав, изменяются скачкообразно, что приводит к повышенному динамическому воздействию на путь и экипажную часть, увеличивая их износ, повышает вероятность схода с рельсов или опрокидывания подвижного состава и вызывает дискомфорт у пассажиров.

Особенно важно устройство переходных кривых при высоких скоростях движения, применении путевых кривых малого радиуса, тяжёлом подвижном составе, пропуске длиннобазового подвижного состава.

Сложность заключается в том, что эта спираль не может быть описана явной параметрической функцией, поэтому приходится рассчитывать значения координат ее точек численными методами. Таким образом, возникает задача моделирования плана железнодорожного пути при автоматизированном проектировании.

Кроме этого есть еще одна немаловажная проблема. Для бесперебойного и безопасного движения поездов состояние железнодорожных путей постоянно контролируют. В связи с этим возникает задача автоматизированного проектирования реконструкции плана и продольного профиля железнодорожного пути, в смысле их приведения к правильному геометрическому очертанию и соответствию нормативным требованиям. Проблема заключается в обеспечении требуемой точности моделирования объектов проектирования на всех стадиях автоматизированного расчета. И связано это не в малой степени с использованием в железнодорожных путях клотоиды, для которой не существует явного задания формулами.

В настоящей работе мы поставили перед собой следующие задачи:

    изучить классические подходы к построению клотоиды с помощью численного интегрирования; изучить современные дифференциально-геометрические подходы к построению аналитически неописываемых кривых; разработать математический алгоритм моделирования клотоиды дифференциально-геометрическим методом натуральной параметризации; разработать математический алгоритм восстановления плана железнодорожного пути, связывающего прямые участки дороги с дугами окружностей; реализовать полученные алгоритмы в виде компьютерной программы.

1. Основные понятия и определения

Клотоида (или спираль Корню, или спираль Эйлера) названа по имени французского физика XIX в. А. Корню. Главной особенностью этой спирали (рис. 1) является то, что ее кривизна прямо пропорциональна длине пройденного по ней пути. В отличие от других спиралей клотоида обладает важным свойством: радиус ее кривизны начинается от бесконечности и стремится к нулю, приближаясь к своей асимптоте, а кривизна стремится к своей идеальной форме - кругу.

Рис.1
 
 

Клотоида состоит из двух ветвей, симметрично расположенных относительно начала координат. Точки A и B являются ассимтотическими.

При строительстве железных и шоссейных дорог возникает необходимость связать прямолинейные участки с участками пути, где средства транспорта движутся по дугам окружностей. При этом важно, чтобы кривизна пути изменялась равномерно, и спираль Корню является идеальной переходной кривой для закругления железнодорожного пути. При этом прямой участок пути должен переходить в дугу спирали Корню, начиная с ее центра. А с путем по окружности спираль Корню стыкуется в той ее точке, где ее кривизна равняется кривизне данной окружности.

Итак, клотоида – кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги.

Параметрически клотоида может быть представлена через интегралы Френеля:

. (1)

Интегралы Френеля S(x) и C(x) – это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются следующим образом:

, . (2)

Интегралы Френеля не выражаются через элементарные функции, кроме частных случаев. То есть они являются одним из примеров так называемых «неберущихся» интегралов. При вычислении производной, наличие формул для производной суммы, разности, произведения, частного и композиции – всех тех операций, при помощи которых элементарные функции образуются из минимального набора – приводит к тому, что производная любой элементарной функции снова является элементарной функцией. При нахождении неопределённых интегралов, однако, формул для первообразной произведения, частного и композиции нет. Это приводит к такому положению, что отнюдь не для любой элементарной подынтегральной функции можно «взять интеграл», то есть выразить некоторую первообразную для подынтегральной функции в виде некоторого выражения, использующего лишь элементарные функции. Дело не в том, что пока не придумано способа это сделать. В науке и её приложениях в технике, экономике и других дисциплинах применяются многие неэлементарные функции; часто их, как и интегралы Френеля, называют специальными.

2. Методы построения клотоиды

2.1. Классические подходы к построению клотоиды

Вычисление интегралов Френеля возможно только численными методами. Для этого существуют специальные алгоритмы численного интегрирования.

Одним из способов решения этой задачи есть использование кусочной аппроксимации рациональными функциями. Как правило, интегралы Френеля представляют в виде рядов:

Количество членов в этих рядах при программировании необходимо выбирать из требуемой точности при решении конкретной прикладной задачи.

Также, иногда для интегралов Френеля применяют асимптотическое представление при больших х:

При использовании всех этих методов возникают трудности при решении задач компьютерного моделирования железнодорожных путей, а так же в задачах автоматизированного проектирования реконструкции плана железнодорожного полотна, поэтому необходимо искать другие подходы к методам построения этих кривых.

2.2. Дифференциально-геометрический подход

В современной компьютерной геометрии все шире применяются знания дифференциальной геометрии. Подчеркнем, что именно дифференциальная геометрия является основой и источником многих важных идей для современной компьютерной геометрии.

В нашей работе будет рассмотрен именно дифференциально-геометрический подход к решению подобных задач. При расчете координат точек кривой будем использовать метод натуральной параметризации, описанный в [4, 5].

Сначала необходимо найти натуральное уравнение клотоиды.

Подставим выражения (2) в уравнение (1) и найдем две первые производные полученной векторнозначной функции:

;.

Далее найдем длину их векторного произведения:

.

Тогда функция кривизны будет иметь следующий вид:

. (3)

Далее находим функцию длины дуги клотоиды

. (4)

Выразим из (4) t и подставим в (3) и (1):

;

; (5)

(6)

Таким образом, мы получили натуральное уравнение клотоиды (6).

При соединении клотоидой прямой с окружностью радиуса R, кривизна меняется от нуля до по закону (5). Следовательно, натуральный параметр s этой клотоиды будет меняться от нуля до . Тогда параметр t изменяется от нуля до .

Значит, длина искомой клотоиды будет равна:

Далее, если известна длина L искомой клотоиды, то легко найти параметр a, принимая длину дуги s = L:

. (7)

Таким образом, функция кривизны искомой клотоиды принимает вид:

. (8)

а натуральный параметр s будет меняться от 0 до L.

Теперь единичный вектор касательной примет вид:

.

В формуле

сделаем замену, используя известную разностную схему дифференцирования:

Откуда получаем:

. (9)

Пусть задана точность расчета точек клотоиды . Тогда количество этих точек найдем по формуле:

.

Обозначим .

Теперь для i от 1 до n вычисляем значения по формуле (9), при этом значения находим по формуле .

2.3. Математический алгоритм построения клотоиды методом натуральной параметризации

Пусть дано: длина дуги клотоиды L, радиус окружности R и количество точек дуги клотоиды N (от этого зависит точность построения).

1.  Вычисляем точность расчета

2.  Потом Обозначим .

3.  И теперь рассчитываем координаты точек

Описанный выше алгоритм построения клотоиды, был реализован нами в среде программирования Delphi (см. Приложение 1).

Эта программа показывает диалоговое окно, в которое пользователь должен ввести длину дуги клотоиды L, радиус окружности R и количество точек дуги клотоиды N (рис. 2). После нажатия на кнопку «Строить» появляется построенная клотоида.

3. Моделирование плана железнодорожного пути

3.1. Случай восстановления клотоиды, связывающей прямые участки дороги с дугами окружностей

Для бесперебойного и безопасного движения поездов состояние железнодорожных путей постоянно контролируют. В связи с этим возникает задача автоматизированного проектирования реконструкции плана и продольного профиля железнодорожного пути, в смысле их приведения к правильному геометрическому очертанию и соответствию нормативным требованиям. Проблема заключается в обеспечении требуемой точности моделирования объектов проектирования на всех стадиях автоматизированного расчета. И связано это в немалой степени с использованием в железнодорожных путях клотоиды, для которой не существует явного задания формулами.

В данной работе мы рассмотрим задачу восстановления клотоиды, связывающей прямые участки дороги с дугами окружностей.

В качестве входных данных были взяты координаты точек начала и конца обоих прямых участков, координаты вхождения переходных кривых в окружность, и ее радиус.

Вначале мы найдем координаты центра окружности, решив систему уравнений и выбрав корни в зависимости от расположения прямых участков:

Найдем координаты единичного вектора касательной к окружности в точке вхождения клотоиды в окружность, для этого найдем координаты вектора с началом в центре окружности и концом в этой точке:

Теперь найдем перпендикулярный ему вектор и нормализуем его (его длина равна радиусу окружности):

Так как единичные векторы касательных у окружности и клотоиды в точке вхождения клотоиды в окружность равны, то приравняем их координаты по y и получим:

Мы знаем, что натуральный параметр S клотоиды в данной точке будет равен ее длине, то есть L:

Теперь, зная начальную точку, длину клотоиды и радиус сопрягаемой с ней окружности мы можем построить ее при помощи рассмотренного нами выше дифференциально-геометрического подхода.

3.2. Математический алгоритм восстановления клотоиды, связывающей прямые участки дороги с дугами окружностей

Пусть дано: координаты точек начала и конца обоих прямых участков , координаты вхождения переходных кривых в окружность , и ее радиус R.

1.  Вычисляем координаты центра окружности

2.  Потом рассчитываем длину участка клотоиды

3.  И теперь, вычислив все необходимые параметры, при помощи алгоритма построения клотоиды методом натуральной параметризации строим переходную кривую по алгоритму, описанному нами в пункте 2.3 настоящей работы.

Данный алгоритм восстановления клотоиды, связывающей прямые участки дороги с дугами окружностей, был реализован нами в среде программирования Delphi (см. Приложение 2).

Заключение

В данной работе мы познакомились с кривой, называемой клотоидой, как переходной кривой в железнодорожных путях, с точки зрения компьютерного моделирования плана железнодорожного полотна.

Нами проанализированы классические методы построения клотоиды, разработаны алгоритм ее построения методом натуральной параметризации и алгоритм восстановления клотоиды, связывающей прямые участки дороги с дугами окружностей. Эти алгоритмы мы реализовали в виде компьютерных программ в среде программирования Delphi.

На этом наша работа не останавливается. В дальнейшем данный алгоритм будет доработан и применен для восстановления плана железнодорожного полотна по имеющимся точкам на местности и расчета сдвигов этих точек для ремонта железнодорожных путей.

Литература

http://slovari. yandex. ru/dict/bse/article/00026/11200.htm http://ru. wikipedia. org/wiki/Переходная_кривая Бучкин автоматизированного проектирования реконструкции плана и профиля железных дорог. Диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук, Москва – 2001. , Журавлёв кривых для проектирования произвольных поверхностей квадратичными формами. \\ Вестник ИрГТУ. - 2006. - № 4. С. 63-69. , Шабалин кривых на карте поверхности, заданной квадратичными формами. Вестник ИрГТУ. - 2006. - № 4. С. 47-52. Маркушевич кривые. Гос. изд-во технико-теоретической литературы, Москва – 1952.

Приложение 1
«Программа построения клотоиды по данным: длина дуги клотоиды L, радиус окружности R и количество точек дуги окружности N, методом натуральной параметризации»

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var i:integer;

h, w,n, p,y:integer;

l, r,ds, t,s, c:double;

b:boolean;

ar:Array[0..100000] of TPoint;

z:Tpoint;

begin

h:=paintbox1.height; {h,w-высота и ширина диалогового окна}

w:=paintbox1.width;

n:=strtoint(edit3.text);

l:=strtoint(edit1.text);

r:=strtoint(edit2.text);

ds:=l/n;

t:=0; ar[0].x:=0; ar[0].y:=0; {ar-массив с координатами точек клотоиды}

For i:=1 to n do

Begin

ar[i].x:=ar[i-1].x+trunc(ds*cos(t*t/(2*l*r))); ar[i].y:=ar[i-1].y+trunc(ds*sin(t*t/(2*l*r)));

t:=t+ds;

End;

paintBox1.Canvas. MoveTo(w div 2,h div 2);

For i:=1 to n do

Begin

paintBox1.Canvas. LineTo(w div 2+ar[i].x, h div 2-ar[i].y);

End;

end;