Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ЯРОСЛАВА МУДРОГО»
Кафедра «Прикладная математика и информатика»
УТВЕРЖДАЮ
Ректор ИЭИС
_____________
«____» ______________2006 г.
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Дисциплина для направления 010500
и специальности 010501 – прикладная математика и информатика
Рабочая программа
СОГЛАСОВАНО Начальник учебно-методического Отдела _______________ «____» ______________2006 г | Принято на заседании кафедры «____»______________ 2006 г. Разработал ___________ «____» ______________2006 г. |
Введение
Дисциплина «Теория случайных процессов» входит в блок дисциплин национально-регионального компонента и читается в 6-семестре.
Дисциплина «Теория случайных процессов» является одним из разделов теории вероятностей и читается как логическое продолжение классического курса «Теория вероятностей и математическая статистика», связана с курсом «Цепи Маркова» и многими прикладными дисциплинами, использующими понятия случайной величины и случайной функции.
Дисциплина следует обязательно после изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», которая формирует базу для изучения теории случайных процессов, ибо понятия курса «Теория случайных процессов» (случайных функций) обобщают классические понятия теории вероятностей (случайных величин). В курсе также используются элементы математической статистики. Перестановка местами этих курсов, а также их параллельное изучение, недопустимы.
Целями преподавания дисциплины являются:
· изучение студентами теоретических основ дисциплины;
· приобретение студентами практических навыков по изучаемой дисциплине;
· создание базиса для дальнейшего самостоятельного изучения предмета.
1 Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля
Таблица 1.1 – Дневная форма обучения
Вид учебной работы | Всего | Часов по семестрам |
6 семестр | ||
Аудиторные занятия | 34 | 34 |
- лекции | 17 | 17 |
- практические занятия | 17 | 17 |
- семинары | - | - |
- | - | |
Самостоятельная работа | 26 | 26 |
- | - | |
- расчетно-графическая работа | - | - |
- реферат | - | - |
9 | 9 | |
- прочие | 17 | 17 |
Всего | 60 | 60 |
Вид итогового контроля | зачет | зачет |
2 Содержание дисциплины
Таблица 2.1 – Содержание теоретических занятий
Тема | Трудоемкость в часах | |
Очная форма | ||
Ауд. | СРС | |
1 Случайный процесс. Основные понятия. Случайная функция, случайный процесс, случайная последовательность. Сечения и реализации (траектории). Математическое ожидание. Дисперсия. Корреляционная и нормированная корреляционная функции. Взаимная корреляционная и нормированная взаимная корреляционная функции. | 4 | 3 |
2 Типы случайных процессов Нормальный процесс. Винеровский процесс. Марковский процесс. Пуассоновский процесс. | 1 | 1 |
3 Стохастический анализ Сходимость в среднем порядка r и сходимость в среднеквадратическом. Непрерывность случайного процесса. Дифференцируемость случайного процесса (необходимые и достаточные условия). Теоремы о математическом ожидании и корреляционной функции производной. Теорема о взаимной корреляционной функции X(t) и
| 4 | 5 |
4 Стационарные случайные процессы Основные понятия. Случайные процессы, стационарные в узком и широком смысле. Корреляционная, нормированная корреляционная и взаимная корреляционная функции. Корреляционная и взаимная корреляционная функции для производных и для интегралов стационарных случайных процессов. | 2 | 2 |
5 Спектральная теория стационарных случайных процессов Спектральное разложение стационарного случайного процесса. Случайные процессы с дискретным спектром. Случайные процессы с непрерывным спектром. Спектральная плотность. Формулы Винера-Хинчина. Импульсная дельта-функция Дирака. Стационарный белый шум. Cпектральная плотность линейной комбинации стационарного процесса и его производных. Стационарное решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
| 4 | 4 |
6 Потоки событий Основные понятия. Свойства. Классификация. Потоки Пальма. Пуассоновские потоки. Потоки Эрланга.
| 2 | 1 |
ВСЕГО | 17 | 16 |
Таблица 2.2 – Содержание практических работ
Тема | Трудоемкость в часах | |
Очная форма | ||
Ауд. | СРС | |
1 Случайный процесс. Основные понятия | 4 | 2 |
2 Типы случайных процессов | 1 | - |
3 Стохастический анализ
| 3 | 2 |
4 Стационарные случайные процессы | 3 | 2 |
5 Спектральная теория стационарных случайных процессов
| 3 | 2 |
6 Потоки событий
| 1 | - |
7 Контрольные мероприятия
| 2 | 2 |
ВСЕГО | 17 | 10 |
3 Учебно-методическое обеспечение
3.1 Список рекомендуемой литературы
3.1.1 Основная литература
1. Свешников методы теории случайных функций. – М.: Наука, 1968.
2. Гмурман вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1999.
3. , , Цветкова процессы. – М.: Изд-во МГТУ им. , 2000.
4. , Овчаров вероятностей (задачи и упражнения). - М.: Наука, 1973.
5. Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1999.
6. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. / Под общей ред. . - М.: Наука, 1970.
7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под ред. . - М.: Наука, 1984.
8. , , Фишман в медицине и биологии: Руководство. В 2-х томах. Т.1. Теоретическая статистика. – М.: Медицина, 2000.
3.1.2 Дополнительная литература
1. Вентцель теории случайных процессов. - М.: Наука, 1975
2. , Скороход в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1977.
3. Яглом теория стационарных случайных функций. – Л.: Гидрометеоиздат, 1981.
4. Розанов процессы. - М.: Наука, 1971.
5. Стохастические процессы и броуновское движение. - М.: Наука, 1972.
6. Лавренченко по математической статистике и теории случайных процессов. – М.: Изд-во МАИ, 1974.
3.2 Список методических рекомендаций и указаний
1. Токмачев программа дисциплины «Теория случайных процессов» для специальности 010500 – «Прикладная математика и информатика», НовГУ, 2006. 10 с.
3.3 Педагогические контрольные (испытательные) материалы
3.3.1 Задания для проверки в контрольных работах
Вариант контрольной работы №1
1. Случайные величины U и V имеют распределения
uj | -2 | 1 | 3 |
pj | 0.2 | 0.3 | 0.5 |
vj | -1 | 2 |
pj | 0.4 | 0.6 |
Найти:
а) возможные реализации случайного процесса X(t) = =( U + V ) t2 и их вероятности;
б) mx(t) .
2. Пусть случайный процесс задан выражением X(t) = (U – 2) sin t , где случайная величина U равномерно распределена на отрезке [2; 5].
Найти:
а) дисперсию случайного процесса Y(t) = X(t) + U ln |t|;
б) нормированную взаимную корреляционную функцию rxy (t1, t2) .
Вариант контрольной работы №2
1. Заданы случайные процессы X(t) = e t sin U , Y(t) = t cos U .
Случайная величина U имеет распределение
um | 0 | p ¤ 2 | p |
pm | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Найти взаимную корреляционную функцию случайных процессов X(t) и Y(t).
2. Случайный процесс X(t) = V2 t e t, где случайная величина V ~ N (0; 1) . Случайный процесс Z(t) = 2 X(t) + X¢(t).
Найти: а) 
; б) Kz.
3. Стационарный случайный процесс X(t) имеет корреляционную функцию
kx (t) = 5 e - | t | .
Найти нормированную корреляционную функцию для X(t).
4. Известна спектральная плотность стационарного случайного процесса
sx (w) = 
.
Вычислить корреляционную функцию kx(t).
3.3.2 Контрольные вопросы к зачету
1. Основные понятия теории случайных процессов: случайная функция; случайный процесс; случайная последовательность; сечения и реализации (траектории); математическое ожидание; дисперсия.
2. Корреляционная и нормированная корреляционная функции.
3. Взаимная корреляционная и нормированная взаимная корреляционная функции.
4. Типы случайных процессов
5. Сходимость в среднем порядка r и сходимость в среднеквадратическом. Непрерывность случайного процесса.
6. Дифференцируемость случайного процесса (необходимые и достаточные условия).
7. Теоремы о математическом ожидании и корреляционной функции производной. Теорема о взаимной корреляционной функции X(t) и 
.
8. Интегрируемость случайного процесса. Теоремы о математическом ожидании, корреляционной и взаимной корреляционной функции интегралов.
9. Эргодические случайные процессы.
10. Случайные процессы, стационарные в узком и широком смысле.
11. Корреляционная, нормированная корреляционная и взаимная корреляционная функции стационарных случайных процессов.
12. Корреляционная и взаимная корреляционная функции для производных и для интегралов стационарных случайных процессов.
13. Спектральное разложение стационарного случайного процесса. Случайные процессы с дискретным спектром.
14. Случайные процессы с непрерывным спектром. Спектральная плотность. Формулы Винера-Хинчина.
15. Импульсная дельта-функция Дирака.
16. Стационарный белый шум.
17. Cпектральная плотность линейной комбинации стационарного процесса и его производных. Стационарное решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
18. Определение и классификация потоков событий.
Карта учебно-методического обеспечения
Дисциплина – Теория случайных процессов
Направление 010500 и специальность 010501 – Прикладная математика
и информатика
Форма обучения – дневная
Часов: всего - всего часов 34, лекций 17, практ. занятий 17, лаб. раб. -.
Институт – ИЭИС Кафедра – ПМИ
Таблица 1 – обеспечение дисциплины учебными изданиями
Библиографическое описание издания (автор, наименование, вид, место и год издания, кол. стр.) | Вид занятия, в котором используется | Число часов, обеспечиваемых изданием | Кол. экз. в библ. НовГУ (на каф.) | Прим. |
Свешников методы теории случайных функций. – М.: Наука, 1968.-463с. | Лекции, практ. занятия | 12 6 | 7 | |
Гмурман вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003.- 480с. | Лекции, практ. занятия | 12 4 | 100 | |
, , Цветкова процессы. – М.: Изд-во МГТУ им. , 2000.- 448с. | Лекции, практ. занятия. | 10 4 | 12 | |
, Овчаров вероятностей (задачи и упражнения). - М.: Наука, 1973.-368с. | Лекции, практ. занятия | - 10 | 38 | |
, , Фишман в медицине и биологии: Руководство. В 2-х томах. Т.1. Теоретическая статистика. – М.: Медицина, 2000.- 456с. | Лекции, практ. занятия | 5 3 | 50 | |
Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2004. -400с. | Лекции, практ. занятия | - 12 | 100 | |
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. / Под общей ред. . - М.: Наука, 1970. – 632с. | Лекции, практ. занятия | - 6 | 20 | |
Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под ред. . - М.: Наука, 1984.- 608с. | Лекции, практ. занятия | - 6 | 101 |
Таблица 2. Обеспечение дисциплины учебно-методическими изданиями.
Библиографическое описание издания (автор, наименование, вид, место и год издания, кол. стр.) | Вид занятия, в котором используется | Число часов, обеспечиваемых изданием | Кол. экз. в библ. НовГУ (на каф.) | Прим. |
Токмачев программа дисциплины «Теория случайных процессов» для специальности 010500 – «Прикладная математика и информатика», НовГУ, 2006. 10 с. | Лекции, практ. занятия | 34 | 5 | электронная версия |
