Аппроксимации граничных условий

5.4. Аппроксимации граничных условий

Порядок погрешности решения определяется и порядком аппроксимации граничных условий. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения (например оператор ), , удовлетворяющее двум краевым условиям (КУ):

, (5.4.1)

,

где , - заданные числа.

В частности, если , , то такое краевое условие называется условием первого рода. Если , , такое краевое условие называется условием второго рода. В общем случае , , краевое условие называется условием третьего рода.

Пусть отрезок разбит на отрезков равномерным шагом и в точке , , .

Если разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , то

Пусть , тогда можно получить следующие приближения для производных на границе:

в точке

, . (5.4.2)

Аналогично в точке

, . (5.4.3)

Видим, что производные на границе аппроксимируются формулами (5.4.2) и (5.4.3) с первым порядком точности.

Точность аппроксимации производных на границе можно повысить с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа.

5.4.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Приближения функции

Пусть даны основные системы функций, достаточно гладких и непрерывно дифференцируемых. Рассмотрим обобщенный многочлен (полином) в виде

где постоянные коэффициенты.

Постановка задачи о приближении: данную функцию требуется приближенно заменить (аппроксимировать) обобщенным полиномом так, чтобы отклонение функций и на заданном множестве было наименьшим. Это можно достичь подбором коэффициентов . При этом полином называется аппроксимирующим.

Если множество состоит из отдельных точек , то приближение называется интегральным. В нашем случае , тогда

(5.4.4)

Таким образом требуется аппроксимировать функцию полиномом .

Интерполяция функций. Считается, что и близкими (имеющими малое отклонение), если они совпадают на заданной системе точек . , .

Полином называется интерполяционным, если и коэффициенты определяются из системы уравнений.

(5.4.5)

Определитель этой системы называется определителем Вандермонда.

Полином коэффициенты которого определяются системой (5.4.5), называется интерполяционным полиномом Лагранжа для и этот полином может быть записан в виде:

. (5.4.6)

При различных степенях имеем:

;

;

;

.

Пример. Построить интерполяционный полином совпадающий с функцией в точках

В этих точках .

В качестве примера рассмотрим полином второй степени (), тогда искомый полином Из формулы Лагранжа имеем

И .

При имеем .

5.4.2. Погрешность интерполяции

Пусть , где - остаточный член, погрешность интерполяции. Если относительно ничего не известно, кроме ее значения в узлах, то никаких полезных суждений относительно сделать нельзя.

На основании теоремы Ролля о среднем можно получить выражение остаточного члена в предположении, что т. е. определена на отрезке и имеет на нем непрерывные производные до порядка включительно, отрезок содержит все узлы интерполяции и произвольную точку :

, (5.4.7)

где , тогда

Здесь - некоторая неизвестная точка.

Оценим погрешность интерполяции в текущей точке :

(5.4.8)

где .

И оценим максимальную погрешность интерполяции на всем отрезке :

(5.4.9)

Пример: Оценить погрешность приближения функции в точке и на всем отрезке с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа второй степени, построенного на узлах

Имеем: , , .

.

Погрешность в точке составит:

.

А максимальная погрешность на всем отрезке :

Так как в точке , следовательно в этой точке имеем экстремум. Вторая производная в этой точке меньше нуля, т. е. в этой точке функция достигает максимума.

Линейная интерполяция

При интерполяция называется линейной.

.

Если ввести обозначения то

,

величина – называется фазой интерполяции, . При этом функция заменяется хордой

Погрешность линейной интерполяции

Оценка погрешности интерполяции в текущей точке :

,

И оценка максимальной погрешности интерполяции на всем отрезке :

,

и

, .

Следовательно, линейная интерполяция имеет второй порядок точности.

Для аппроксимации граничных условий (5.4.1) воспользуемся квадратичным полиномом Лагранжа по трем точкам отрезка

,

полагая находим для производной на границе

, , (5.4.10)

аналогично для производной на границе

, . (5.4.11)

Формулы (5.4.10), (5.4.11) аппроксимируют первые производные на границе со вторым порядком точности.

А вторые производные на границе аппроксимируются с первым порядком точности

, (5.4.12)

. (5.4.13)

Таким образом, первые и вторые производные на границе аппроксимируются формулами (5.4.10)-(5.4.13).