Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

Математика, 11 класс

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

Решение показательных уравнений основано на следующем свойстве степеней:

af(x)=ag(x) (a>0; a¹1) Û f(x)=g(x)

Применяется два основных метода решения.

I.  Преобразованиями уравнение сводится к виду

af(x)=ag(x) Û f(x)=g(x)

и решается второе уравнение.

II.  Метод замены переменной.

Проиллюстрируем эти два метода на примерах.

1.  Решим уравнение

; ;

; ;

–х–2=–2х–2; х=–1.

Ответ: х=–1.

2.  Решите уравнение:

2×3х+1–6×3­х–1–3х=9.

Решение. Коэффициенты при х в показателях степени равны, вынесем за скобку степень числа 3 с меньшим показателем.

3х–1(2×32–6­–31)=9;

3х–1(18–6­–3)=9;

3х–1×9=9;

3х–1=1;

3х–1=30;

х–1=0;

х=1.

Ответ: х=1.

3.  Решите уравнение:

.

;

Коэффициенты при х2 в показателях степени числа 2 не равны, введем вспомогательную переменную

Þ Þ Þ .

Возвращаемся к старой переменной

Þ Þ – такое уравнение не имеет решений.

Þ Þ Þ Þ .

Ответ: .

4.  Решите уравнение

Разделим почленно на , получим

, обозначим , тогда .

Þ Þ

– не имеет решений, так как , а для любых х¹0.

Ответ: .

Á При решении показательных неравенств выполняются преобразования аналогичные тем, что и при решении показательных уравнений, основано решение неравенств на следующем свойстве степеней:

af(x)>aj(x), a>1 Û f(x)>j(x)

af(x)>aj(x), 0<a<1 Û f(x)<j(x)

1.  Решите неравенство:

, так как 0,3<1, то

2х2–3x+6>5

2x2–3x+1>0

2x2–3x+1=0

; x=1; x=;

Û

Ответ:

2.  Решите неравенство: .

, так как 3>1, то

-1

x

Ответ: .

3.  Решите неравенство:

, так как , умножим обе части неравенства на , знак неравенства не изменится, получим равносильное неравенство

, пусть

, тогда 1<t<2, возвращаемся к старой переменной Þ

, так как 2>1, то 0<x<1.

Ответ: 0<x<1.

4.  Решите неравенство:

, так как , то х>0.

Ответ: х>0.

II. Логарифмические уравнения и неравенства

При решении логарифмических уравнений применяют потенцирование, то есть переход от уравнения к уравнению f(x)=j(x); определение логарифма или основное логарифмическое тождество, то есть переход от уравнения к уравнению или ; свойства логарифмов, то есть формулы

Когда применяется потенцирование, то ОДЗ уравнения расширяется, то есть возможно приобретение корней, в этом случае нужна проверка.

Если применяется определение логарифма, нужно учитывать, что основание логарифма положительно и отлично от 1, выражение, стоящее под знаком логарифма – положительно.

При применении свойств логарифмов может произойти как приобретение корней, так и их потеря. Если перечисленные формулы применяются так, что левая часть формулы заменяется правой, то область допустимых значений сужается, такое применение формулы может привести к потере корней и формально недопустимо. Если формулы применяются так, что правая часть равенства заменяется левой, то возможно приобретение корней, то есть необходима проверка. Замена выражения выражением j(х) тоже расширяет ОДЗ уравнения.

1.  Решите уравнение: .

Þ по определению логарифма

Þ Þ , но х–1 не может быть отрицательным Þ .

2.  Решите уравнение: .

Применяя основное логарифмическое тождество, получим

Þ .

Поскольку при применении основного логарифмического тождества могли появиться посторонние корни, необходима проверка.

Проверка: – не существует, то есть х=2 не является корнем.

– не существует, то есть х=3 не является корнем.

Ответ: уравнение не имеет решений.

3.  Решите уравнение: .

Если решать уравнение, применяя формулу , получим

, то, с одной стороны, могли быть корни потеряны, так как ОДЗ сужается действительно, выражение существует при всех х, отличных от –1, выражение существует при всех х, отличных от

–9, а выражение существует при х>-1, а выражение существует при x>-9. С другой стороны, замена выражения выражением может привести к приобретению корней, но это легко устраняется проверкой.

Решать это уравнение можно было иначе.

а) б)

так как ОДЗ уравнения составляют любые действительные значения х, отличные от –1 и –9, то решением уравнения являются все найденные значения х.

Ответ: .

Можно было при решении уравнения рассуждать следующим образом:

.

Решение логарифмических неравенств. При решении неравенств выполняются преобразования аналогичные тем, что проводились при решении уравнений. Необходимо следить за равносильностью проводимых преобразований.

Неравенство равносильно

системе: при 0<a<1 и

системе: при а>1.

1.  Решите неравенства:

а)

Ответ: .

б)

Þ

Ответ: .

в)

(тем более, больше 0)

.

Ответ: .

г)

Þ Þ .

Ответ: .

Контрольное задание

Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

Наш адрес: 680000, 8, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).

Решить уравнения:

М10.11.1.;

М10.11.2. ;

М10.11.3. ;

М10.11.4. ;

М10.11.5. ;

М10.11.6. ;

М10.11.7. .

Решите неравенства:

М10.11.8. ;

М10.11.9. ;

М10.11.10. ;

М10.11.11.;

М10.11.12.;

М10.11.13.;

М10.11.14..