Модель естественного роста в условиях конкуренции

с учетом издержек

Более реалистической является модель, в которой скорость выпуска продукции зависит не от дохода, а от прибыли. Пусть

,

где - издержки, при этом и ;

,

где - доход, при этом , .

Тогда дифференциальное уравнение, описывающее модель роста с учетом издержек, примет вид:

,

,

. (3.16)

Таким образом, правая часть уравнения (3.16) представляет собой квадратный трехчлен относительно с отрицательным коэффициентом перед . В этом случае возможны три варианта решения при:

а) рассмотрим случай, когда дифференциальное уравнение (3.16) не имеет стационарного решения (). Пусть, для примера, ,,,, , подставив исходные данные в уравнение (3.16), получим ,.

Так как, следовательно, . Издержки настолько велики, что это приводит к постоянному падению уровня производства и, в конце концов, к банкротству. Подставим исходные данные в дифференциальное уравнение (59) и решим его:

,

Построим интегральные кривые:

(на рисунке 3.27 ряд1);

(на рисунке 3.27 ряд 2).

Рисунок 3.27- Интегральные кривые для случая

б) рассмотрим случай, когда уравнения (3.16) имеет единственное стационарное решение (=0). Пусть, для примера, ,,,, . Подставив эти данные в уравнение , получим уравнение

. (3.17)

В этом случае =0, и при уравнение (3.17) имеет единственное стационарное решение .

Решим дифференциальное уравнение (3.17):

, ,

или , тогда .

Зададим начальные условия: пусть в начальный момент времени 7, то есть больше, чем стационарное значение , тогда 0,2, а (на рисунке 3.28 ряд 2). Интегральные кривые асимптотически приближаются к единственному стационарному решению. В этом случае выпуск падает, приближаясь к равновесному решению.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Пусть 1,5, то есть меньше, чем стационарное значение , тогда -2 и (на рисунке 3.28 ряд 1). Интегральные кривые, удовлетворяющие условию , асимптотически приближаются к равновесному решению при .

Рисунок 3.28 - Интегральные кривые для случая

в) рассмотрим случай, когда уравнение (3.16) имеет два стационарных решения и , при этом ,. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

, , .

Если начальное значение объема производства окажется меньше первого равновесного значения , то есть , то с течением времени объем производства будет монотонно убывать.

Если , то с течением времени объем производства увеличивается, приближаясь к равновесному значению . Если , то есть начальный объем производства оказывается больше первого равновесного значения, но меньше второго равновесного значения, тогда объем производства будет расти, приближаясь к равновесному значению .

Пусть , то есть . Подставим эти значения в уравнение , полагая, . В результате получим дифференциальное уравнение .

В этом случае , и существуют два ненулевых стационарных (равновесных) решения и . На рисунке 3.29 ряд 1 задает равновесную прямую , а ряд 5 задает равновесную прямую .

Общее решение дифференциального уравнение имеет вид:

, , где .

Рассмотрим пример, когда начальное значение объема производства окажется меньше первого равновесного решения , то есть . В этом случае и решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Данная интегральная кривая на рисунке 3.29 представлена рядом 2. С течением времени объем производства будет монотонно убывать.

Рисунок 3.29- Интегральные кривые для случая

Рассмотрим пример, при ().

При этом и решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Данная интегральная кривая на рисунке 3.29 представлена рядом 3. С течением времени объем производства увеличивается, приближаясь к равновесному решению .

Если в начальный момент времени объем производства превышает второе равновесное значение, то есть, например, при , () , то решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Данная интегральная кривая на рисунке 3.29 представлена рядом 4. С течением времени объем производства уменьшается, приближаясь к равновесному решению .

Итак, - устойчивое равновесие, - неустойчивое равновесие. Это означает, что существует критический порог объема производства, равный . Если начальное значение объема производства окажется больше , то с течением времени этот уровень приблизится к равновесному значению . Если же меньше значения , то объем производства будет монотонно убывать до нуля. Таким образом, любое снижение производства ниже критического уровня чревато банкротством предприятия.