Тема 7
Теорема о движении центра масс
Основные понятия и формулы
1. Механическая система – это совокупность материальных точек (тел), движение или положение каждой из которых зависит от движения или положения всех остальных.
2. Внешние силы по отношению к системе – это активные и реактивные силы 
, действующие на точки (тела) системы со стороны точек (тел), не входящих в состав системы.
3. Внутренние силы – это силы взаимодействия между точками системы 
. Они взаимно уравновешены, поэтому их главный вектор и главный момент равны нулю:
Благодаря этому, при решении задач, рассматривая совокупность взаимодействующих тел как одну систему, можно исключить неизвестные внутренние силы.
4. Масса системы: 
, здесь − масса тела, входящего в состав системы.
5. Центр масс механической системы – это точка 
, координаты которой определяются по формулам:
(1)
Здесь 
− координаты центра тяжести i-той точки системы.
6. Теорема о движении центра масс.
Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему:
(2)
В проекциях на оси 
:
(3)
Это дифференциальные уравнения движения системы.
Решение задач
Задача 1.(№ 35.17)
Призма В спускается по призме А. Найти перемещение призмы А, когда призма В дойдет до горизонтальной плоскости.
Поперечные сечения призм − прямоугольные треугольники. Горизонтальная поверхность идеально гладкая. Соотношение масс: 
. Горизонтальные размеры призм: 
.
Решение.
Алгоритм решения почти такой же, как в предыдущих темах. Необходимо еще определить тела, входящие в состав системы.
1. Выбираем оси. Начало координат совместим с началом движения.
2. Включаем в состав системы призмы А и В.
3. По условию задачи требуется определить конечное перемещение системы. Поэтому изображаем систему в двух положениях: начальном и конечном.
На рисунке показано конечное перемещение вправо, в положительном направлении оси 
на величину 
. Если перемещение системы на самом деле влево, то искомую величину получим со знаком минус.
4. Показываем все внешние силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в её состав: силы веса 
и равнодействующая реакции опоры (на рисунке не показана), направленная вертикально вверх.
5. Формулируем теорему о движении центра масс в проекциях на ось .
6. По условию задачи в начальный момент центр масс находился в покое, следовательно, он и останется в покое, так как скорость центра масс 
(см. п.5.):
. (4)
Здесь 
− координата центра масс в начальный момент,
− координата центра масс в конечный момент.
Выделенная формула выражает закон сохранения движения центра масс системы.
Воспользовавшись формулами (1) и (4), получим:
.
По условию; 
;
Из рисунка:
Подставим найденные выражения в закон сохранения движения цента масс:
.
Находим перемещение призмы:
Ответ:
Задача 2. (№ 35.14, 35.15).
Крановая тележка массы 
заторможена посредине абсолютно жесткой балки. В центре масс тележки подвешен груз массы 
на невесомом тросе длиной 
. Трос с грузом совершает малые колебания по закону: 
.
Определить горизонтальную реакцию балки 
и суммарную вертикальную реакцию 
.
Решение.
1. Выбираем начало координат в центре масс тележки.
2. Включаем в состав системы тележку, груз с тросом и балку.
3. Изображаем все внешние активные и реактивные силы.
4. Определяем координату центра масс системы 
:
.
5. Формулируем теорему о движении центра масс в проекциях на ось :
С учетом п.4:
.
6. Определяем координату центра масс системы 
:
7. Формулируем теорему о движении центра масс в проекциях на ось 
:
С учетом п.6:
, 
.
Ответ:
,
,
Знак минус означает, что реакция ХА направлена влево.
Задача 3. (№ 35.19)
Два груза массами 
и 
соединены нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, закрепленный на прямоугольном клине массой 
. Грузы перемещаются по гладким боковым сторонам клина, расположенного на гладкой горизонтальной плоскости.
Найти перемещение клина при опускании груза на высоту 10 см.
