Тема: Устойчивость линейных систем

Лабораторная работа №2

Тема: Устойчивость линейных систем

1.  Взять передаточную функцию разомкнутой системы из л/р №1 (2 часть)

2.  Для разомкнутой системы определить устойчивость по критерию Гурвица и критерию Раусса

3.  Взять передаточную функцию замкнутой системы из л/р №1 (2 часть) определить устойчива ли эта система по критерию Михайлова

4.  Взять частотный годограф (из л/р №1 (1 часть)) и применив критерий Найквиста, установить будет ли устойчива замкнутая система

Решение:

1.  Разомкнули получили:

2.  Критерий Гурвица

Пусть имеется линейная система, характеристическое уравнение которой имеет вид:

apn + a„-1p"-1 +...+ a0 = 0.

Составим из коэффициентов уравнения at, определитель Гурвица по следующему правилу:

-  расположим на главной диагонали коэффициенты ai, начиная с an-1;

-  ниже главной диагонали расположим коэффициенты ai, последовательно увеличивая индекс на единицу, если будут получены несуществующие индексы, пишем ноль;

-  выше главной диагонали расположим коэффициенты ai, последовательно уменьшая ин­декс на единицу, если будут получены несуществующие индексы, пишем ноль

Формулировка критерия Гурвица:

Для устойчивости линейной системы автоматического управления необходимо и до­статочно, чтобы при an>0 все главные диагональные миноры опеределителя Гурвица были по­ложительны.

Если все главные диагональные миноры положительны, а один из них равен 0, то систе­ма является нейтральной.

Решение:

Таким образом, исследуемая система будет нейтральная, т. к. все главные диагональные миноры положительны, а один из них равен 0.

3.  Критерий Раусса

Критерий Раусса имеет ту же область применения, что и критерий Гурвица. Изменена только сама математическая процедура проведения вычислений.

Пусть имеется линейная система, характеристическое уравнение которой имеет вид:

apn + an-1pn-1 +...+ a0 = 0.

Построим из коэффициентов этого уравнения таблицу Раусса. Первые две строки таблицы формируются из коэффициентов характеристического уравнения. При за­полнении следующих строк необходимо вычислить вспомогательные коэффициенты 1i. Если в процессе вычислений встретится несуществующий индекс коэффициента характеристического уравнения, берется число 0. Всего таблица должна содержать n+1 строку.

Формулировка критерия Раусса:

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Раусса были положительны.

Здесь под первым столбцом понимается столбец, содержащий значения Ci1.

Если все элементы первого столбца таблицы Раусса положительны, а один из них равен нулю, то наша система нейтральна. Количество же перемен знака в первом столбце таблицы Ра-усса равно количеству корней характеристического уравнения, лежащих в правой части комплексной плоскости.

Решение:

Т. к. , а все остальные элементы положительны, то система нейтральна

4.  Критерий Михайлова

Пусть имеется линейная система, характеристическое уравнение которой имеет вид: A(p)=anpn+an-1pn~J'+...+a0=0. Перейдем от комплексной переменной p к мнимому выраже­нию , тогда наше выражение А(р) принимает вид A()=an ()n+an-1 ()n-1+...+a0, где величина может рассматриваться как частота. Изменяя 0 < < , построим годограф Михайлова - геометрическое место точек конца вектора A( при изменении частоты от 0 до .

Формулировка критерия Михайлова:

Для устойчивости линейной системы автоматического управления необходимо и до­статочно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь на действительной, положительной по­луоси при изменении w от 0 до °°, последовательно, в положительном направлении (против часовой стрелки) обходил n квадрантов, где n - порядок характеристического уравнения.

Рисунок 2

Примеры годографов Михайлова - а) неустойчивых систем; б) устойчивых систем

Решение:

Перейдем от к

Строим годограф Михайлова

0	0	13
1	49	-53
2	50	-251
3	-45	-581
4	-284	-1043
5	-715	-1637
6	-1386	-2363
7	-2345	-3221
8	-3640	-4211
9	-5319	-5333
10	-7430	-6587
11	-10021	-7973
12	-13140	-9491
13	-16835	-11141
14	-21154	-12923
15	-26145	-14837
16	-31856	-16883
17	-38335	-19061
18	-45630	-21371
19	-53789	-23813
20	-62860	-26387
21	-72891	-29093
22	-83930	-31931
23	-96025	-34901
24	-109224	-38003
25	-123575	-41237
26	-139126	-44603
27	-155925	-48101
28	-174020	-51731
29	-193459	-55493
30	-214290	-59387
31	-236561	-63413
32	-260320	-67571
33	-285615	-71861
34	-312494	-76283
35	-341005	-80837
36	-371196	-85523
37	-403115	-90341
38	-436810	-95291
39	-472329	-100373
40	-509720	-105587
41	-549031	-110933
42	-590310	-116411
43	-633605	-122021
44	-678964	-127763
45	-726435	-133637
46	-776066	-139643
47	-827905	-145781
48	-882000	-152051
49	-938399	-158453
50	-997150	-164987

5.  Критерий Найквиста

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по частотно­му годографу разомкнутой системы. Поскольку частотный годограф может быть построен на основании результатов измерений, то это единственный критерий позволяющий использовать экспериментальные данные. Разомкнутая система может находиться в одном из трех состояний: устойчивая, неустойчивая и нейтральная. Рассмотрим эти состояния более подробно.

5.1. Разомкнутая система находится в устойчивом состоянии.

Формулировка критерия Найквиста для этого случая принимает следующий вид: Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывал точку (-1;0).

5.2. Разомкнутая система неустойчива.

Формулировка критерия Найквиста для этого случая принимает следующий вид: Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до охватывал точку (-1;0) L/2 раз, где L - количество корней характеристического уравнения, принадлежащих правой ча­сти комплексной плоскости.

5.3.  Разомкнутая система нейтральна.

Формулировка критерия Найквиста для этого случая принимает следующий вид: Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до , с учетом дополнения в бесконечности, не охватывал точку (-1;0).

Дополнением в бесконечности называется дуга бесконечно большого радиуса с центром в начале координат, проведенная от положительной действительной полуоси по часовой стрел­ке до пересечения с годографом.

Решение:

0	-0,2	0
1	-0,06897	0,172414
2	0,013699	0,150685
3	0,038128	0,088388
4	0,041509	0,037736
5	0,038356	0,00274
6	0,033557	-0,02013
7	0,028774	-0,03457
8	0,024529	-0,04335
9	0,020929	-0,04841
10	0,017931	-0,05103
11	0,01545	-0,05208
12	0,013396	-0,05211
13	0,011691	-0,0515
14	0,010267	-0,05049
15	0,009072	-0,04924
16	0,008062	-0,04785
17	0,007204	-0,04641
18	0,006469	-0,04495
19	0,005837	-0,04351
20	0,00529	-0,04209
21	0,004813	-0,04073
22	0,004397	-0,03941
23	0,00403	-0,03815
24	0,003706	-0,03695
25	0,003419	-0,03581
26	0,003163	-0,03472
27	0,002935	-0,03368
28	0,002729	-0,03269
29	0,002544	-0,03175
30	0,002377	-0,03086
31	0,002226	-0,03001
32	0,002088	-0,0292
33	0,001963	-0,02843
34	0,001848	-0,02769
35	0,001743	-0,02699
36	0,001647	-0,02633
37	0,001558	-0,02569
38	0,001476	-0,02508
39	0,001401	-0,02449
40	0,001331	-0,02393
41	0,001266	-0,0234
42	0,001205	-0,02289
43	0,001149	-0,0224
44	0,001097	-0,02192
45	0,001048	-0,02147
46	0,001002	-0,02103
47	0,000959	-0,02062
48	0,000919	-0,02021
49	0,000881	-0,01982
50	0,000846	-0,01945

Судя по тому что частотный годограф разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до , с учетом дополнения в бесконечности, не охватывал точку (-1;0), разомкнутая система нейтральна.