Лекция 1

Лекция 1

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1.1 Матрицы

Матрицей размера (типа) называется таблица вида:

.

Здесь − элементы матрицы. Это могут быть числа, векторы, формулы и другие математические объекты. Матрицу называют числовой, если её элементы есть числа.

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов , то её называют квадратной.

Для квадратной матрицы общее количество строк (или столбцов) называется порядком матрицы.

Матрицей второго порядка называется таблица вида:

Матрицей третьего порядка называется таблице вида:

.

Элементы a11, a22, a33 – расположены на главной диагонали, а элементы a13, a22, a31 – на побочной:

,

Квадратная матрица Е, в которой на главной диагонали стоят единицы, а на остальных местах нули, называется единичной:

Матрица, содержащая одну столбец (или одину строку) называется вектором, а её элементы − координатами этого вектора. Например, матрица А − вектор-столбец, матрица В − вектор-строка имеют вид:

1.2. Действия с матрицами

Сложение матриц, умножение матрицы на число

Рассмотрим несколько матриц A, B, C одного размера (в которых одинаково число строк и равно т, а также одно и то же число столбцов и равно n). Условно размер этих матриц можно обозначить: Соответственные их элементы (стоящие в одинаковых по номеру строках и в одинаковых по номеру столбцах) обозначим aij, bij, cij.

1. Сумма матриц A и B есть третья матрица С, элементы которой:

cij. = aij + bij.

Сложение матриц обладает свойствами:

а) A+B =B+A;

б) (A+B)+C =A+(B+C).

2. Произведение матрицы A на число l:

Примеры:

1. , 2. ,

3. , 4. .

Произведение матриц

Пусть задана матрица A размером (mn) и матрица B размером (nk) − количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.

Произведением этих двух матриц называется третья матрица С, элементы которой сij определяют по правилу «умножение строки на столбец» по формуле:

.

В развернутом виде правая часть формулы громоздка:

Матрица С будет иметь m строк и k столбцов:

Пример.

=

Замечание: обязательным условием для произведения матриц является равенство числа столбцов первого сомножителя числу строк второго.

Операция умножения матриц обладает свойствами:

а) АВ В А;

б) (А+В) С = АС + ВС;

в) (АВ) С = А(ВС).

Единичная матрица E обладает свойством коммутативности с любой квадратной матрицей того же порядка: AE=EA=A.

Пример:

Транспонирование матриц

Если в матрице А размера mn

А=

поменять местами строки и столбцы, то получится матрица размера nm:

.

Матрица называется транспонированной по отношению к А.

Пример:

.

Задания.

1. найти.

Ответ:

;

2. найти

Ответ:

3.

Ответ:

=