ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
I. Аналогия между плоскостью (R2) и пространством (R3).
Задание 1. Заполните таблицу основных понятий и формул пространства по аналогии с основными понятиями и формулами плоскости.
Плоскость (R2) | Пространство (R3) |
прямая | |
Общее уравнение прямой плоскости | |
Вектор нормали | |
Уравнение прямой (плоскости), проходящей через данную точку | |
Расстояние от точки до прямой (плоскости) | |
Взаимное расположение двух прямых (плоскостей): | |
l: ; p: . общие уравнения прямых | a: ; b: . общие уравнения плоскостей |
а) параллельны и при этом не совпадают | |
б) совпадают | |
в) пересекаются | |
взаимно перпендикулярны (частный случай пересечения) | |
II. Прямая в пространстве.
а) Каноническое уравнение прямой (уравнение прямой с данным направляющим вектором и проходящей через данную точку).
Однозначное положение прямой в пространстве будут фиксировать:
· ;
· .
– ;
М0( ; ; ) – .
;
М( ; ; ) – .
выполните чертеж.
Векторы 
и 
– Þ
(укажите свойство координат векторов)
– каноническое уравнение прямой |
б) Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки
Однозначное положение прямой в пространстве будут фиксировать:
· .
М1( ; ; ), М2( ; ; ) –
;
М( ; ; ) – .
выполните чертеж.
Векторы 
и 
– Þ
(укажите свойство координат векторов)
– уравнение прямой, проходящей через |
в) Прямая как пересечение двух плоскостей
|
a: ;
b: .
общие уравнения плоскостей
l: , т. е. прямую l можно
через a и b
задать как .
.
= – .
Þ
; 
; 
.
III. Углы в пространстве.
а) Угол между двумя плоскостями
a: ; 
b: ; 
общие уравнения плоскостей
Угол между двумя плоскостями равен углу между .
.
?? С помощью какой операции над векторами можно определять углы?
.
Пусть j – угол между двумя плоскостями (или между ), тогда
= 
векторная форма координатная форма (через коэффициенты уравнений плоскостей)
б) Угол между двумя прямыми
l: 
;
p: 
;
канонические уравнения прямых
Угол между двумя прямыми равен углу между.
Пусть j – угол между двумя прямыми (или между ), тогда
=
векторная форма координатная форма
в) Угол между прямой и плоскостью
|
a: ;
общее уравнение плоскости
– ;
l:
;
каноническое уравнение прямой
– .
Пусть j – угол между прямой и плоскостью, тогда:
= 
векторная форма координатная форма
IV. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
l:
.
p:
;
канонические уравнения прямых
и – ;
М1( ; ; ) и М2( ; ; ) – .
а) Прямые параллельны и при этом не совпадают
Векторы 
и 
– Þ .
условие на координаты векторов
?? Как проверить, зная координаты точки и уравнение прямой, принадлежит ли данная точка прямой или нет?
Точка М1 .
расположение точки относительно прямой l и прямой p
.
условие на координаты точки М1 по отношению к уравнению прямой p
(или точки М2 по отношению к уравнению прямой l)
б) Прямые совпадают
Векторы и – Þ .
условие на координаты векторов
Точка М1 .
расположение точки относительно прямой l и прямой p
.
условие на координаты точки М1 по отношению к уравнению прямой p
(или точки М2 по отношению к уравнению прямой l)
в) Прямые скрещиваются
|
( ; ; )
( ; ; )
( ; ; )
Векторы , и – .
условие на координаты векторов
г) Прямые пересекаются
Условия пересечения двух прямых можно определить как нарушение условий:
· ;
· .
Условие перпендикулярности прямых
(прямые при этом могут быть )
Векторы и – Þ
математическая запись условие на координаты векторов
V. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
a: ;
общее уравнение плоскости
– .
l: .
;
каноническое уравнение прямой
– ;
М0( ; ; ) – .
Задание 2. Заполните таблицу, указав возможные расположения прямой и плоскости в пространстве.
Возможное расположение прямой и плоскости в пространстве | Взаимное положение векторов | Положение точки М0 | |||
чертеж | описание | векторная форма | координатная форма | матем. запись | координатная форма |
и 
Задание 3. Выведите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
|
М1( ; ; )
М2( ; ; )
М3( ; ; ) – .
;
М( ; ; ) – .
.
( ; ; )
( ; ; )
( ; ; )
Векторы , и – Þ
взаимное расположение трех векторов
условие на координаты векторов
