Тема: «Устойчивость систем»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Тема: «Устойчивость систем».

Студент:

Группа: З-06-50

Преподаватель:

Москва 2006

Основной проблемой инвариантного описания теорий устойчивости систем является то, что в настоящее время нет единства в определении понятия «система». В первых определениях в той или иной форме говорилось о том, что система - это элементы и связи между ними. Например, основоположник теории систем Людвиг фон Берталанфи определял систему, как комплекс взаимодействующих элементов, или, как совокупность элементов, находящихся в определенных отношениях друг с другом и со средой. А. Холл определяет систему, как множество предметов вместе со связями между предметами и между их признаками. Ведутся дискуссии, какой термин лучше употреблять. Так, в «Философском словаре» система определяется, как «совокупность элементов, находящихся в отношениях и связях между собой определенным образом и образующих некоторое целостное единство». В последнее время в определение понятия системы наряду с элементами, связями и их свойствами и целями начинают включать наблюдателя, хотя впервые на необходимость учета взаимодействия между исследователем и изучаемой системой указал один из основоположников кибернетики . М. Масарович и Я. Такахара в книге «Общая теория систем» считают, что система - «формальная взаимосвязь между наблюдаемыми признаками и свойствами». В качестве «рабочего» определения понятия системы в литературе по теории систем часто рассматривается следующее: «система - совокупность элементов, объединенных самоорганизацией, единством цели и функциональной целостностью». Одним из основных понятий, характеризующих строение и функционирование систем является устойчивость. Под устойчивостью понимается способность системы возвращаться в состояние равновесия после того, как она была из этого состояния выведена под влиянием внешних возмущающих воздействий. Эта способность может быть присуща системам, если только отклонения не превышают некоторого предела. Состояние равновесия, в которое система способна возвращаться, по аналогии с техническими устройствами называют устойчивым состоянием равновесия. Равновесие и устойчивость в экономических и организационных системах - гораздо более сложные понятия, чем в технике, и до недавнего времени ими пользовались только для некоторого предварительного описательного представления о системе. В последнее время появились попытки формализованного отображения этих процессов и в сложных организационных системах, помогающие выявлять параметры, влияющие на их протекание и взаимосвязь. В связи с тем, что системы разделяются на классы по различным признакам и в зависимости от решаемой задачи можно выбрать разные принципы классификации, при этом систему можно охарактеризовать одним или несколькими признаками, устойчивость каждый раз будет рассматриваться с некоторыми вариациями. Приведем ряд областей, серьезно озабоченных проблемами устойчивости систем. Например, электротехника на примере электрической системы. Устойчивость электрической системы - это способность электрической системы восстанавливать исходное или практически близкое к нему состояние после какого-либо его возмущения, проявляющегося в отклонении значений параметров от исходных значений. В электрической системе источниками электрической энергии обычно являются синхронные генераторы, связанные между собой электрически общей сетью, причём роторы всех генераторов вращаются синхронно; такой режим, называется нормальным, установившимся, должен быть устойчив, т. е. электрическая система должна возвращаться в исходное состояние всякий раз после отклонений от установившегося режима. Отклонения могут быть связаны, например, с изменением мощности нагрузки, короткими замыканиями, отключениями линий электропередачи. Устойчивость системы, как правило, уменьшается при увеличении нагрузки и понижении напряжения. Для каждой электрической системы могут быть определены некоторые предельные значения этих или связанных с ними величин, характеризующих предел устойчивости. Надёжное функционирование электрических систем возможно, если обеспечен определённый запас устойчивости электрической системы, т. е. если параметры режима работы и параметры самой электрической системы достаточно отличаются от критических. Устойчивость электрической системы предусматривает ряд мероприятий, таких, как обеспечение должного запаса устойчивости при проектировании электрической системы, использование автоматического регулирования возбуждения генераторов, применение противоаварийной автоматики. При анализе устойчивости электрической системы различают статическую, динамическую и результирующую устойчивость. Статическая устойчивость характеризует устойчивость электрической системы при малых возмущениях, т. е. таких возмущениях, при которых исследуемая ЭС может рассматриваться как линейная.

Не обходится без исследований в области устойчивости систем и социальная область. Так, например, выводятся четыре уровня критериальной оценки устойчивости функционирования муниципального образования:

§  Внутренние, связанные качеством окружающей среды на территории муниципального образования и менталитетом населения.

§  Внешние, связанные с зависимостью муниципального образования от внешних факторов.

§  Удельные показатели влияния муниципального образования на окружающую среду.

§  Абсолютные показатели влияния муниципального образования на окружающую среду.

Важность каждой из этих групп зависит от уровня рассмотрения проблемы устойчивого развития.

Основополагающую роль понятие устойчивости систем играет в моделировании социальных процессов. Это связано с тем, что предсказание эволюции общества - это лишь предсказание  состояния, в котором может пребывать общество. Вполне возможно построить прогноз ожидаемых социальных процессов, решив систему дифференциальных уравнений. В какой мере можно утверждать, что социальная система поведет себя именно так, а не иначе? Строя и исследуя модель, изолируя ее от внешних воздействий и фиксируя некоторое начальное состояние, которое, в принципе, нельзя точно получить. Также необходимо выяснить все возможности изменений при исследовании модели, то есть надо посмотреть устойчива система или нет. Необходимо отметить, что вопросу о стабильности (устойчивости) общества уделяется большое внимание в социологии. Так, например, американский социолог Т. Парсонс пишет, что термин «стабильность» эквивалентен более специфическому понятию стабильного равновесия, которое в другом отнесении может быть как статичным, так и подвижным. Система стабильна или находится в относительном равновесии, если отношение между ее структурой и процессами, протекающими внутри нее, и между ней и окружением таково, что свойства и отношения... оказываются неизменными". Также он говорит о требовании наивысшей степени автономности общества среди других социальных систем, которые могут реализовывать различные социальные образования в разные исторические периоды. Исходя из этого при построении системы из 4-х дифференциальных уравнений, описывающих социальную систему последняя исследуется на наличие бифуркации и устойчивости. При этом, приводится вывод, что система имеет периодическое решение при определенных значениях параметра – пассионарного напряжения этноса, которое устойчиво при некоторых условиях на коэффициенты. Компьютерное моделирование показывает, что решение периодическое и устойчивое. Полученные результаты согласуются с социологической теорией. Социальная система не статична, а постоянно в движении, то есть, достигнув некоторого уровня, кривые периодически колеблются около этого уровня с постоянной амплитудой. Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый и великий французский ученый А. Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые , , .

Исследования устойчивости сыграли огромную роль и в развитии систем автоматизированного регулирования и управления. Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. В классическом понимании под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы. Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде: y(t) = yвын(t) + yсв(t).

Здесь yсв(t) - общее решение однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с нулевой правой частью:

aoy(n) + a1y(n-1) + ... + a(n-1)y’ + a(n)y = 0.

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвын(t) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденной. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию с пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением. Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей yвын = y(t ). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = Posin(t + ), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть yвын = ymaxsin(t + y).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих: , где pi корни характеристического уравнения D(p) = a0pn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = 0. Корни могут быть либо вещественными pi = ai, либо попарно комплексно сопряженными pi = ai ± ji. Постоянные интегрирования Аi определяются, исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t .

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая yсв(t)i, каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует yсв(t)i = const. Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой i, при положительной вещественной части - расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие.

Так как после снятия возмущения yвын(t) = 0, то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей yсв(t). Поэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанного в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Исходя из расположения на комплексной плоскости, корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными - правыми.

Поэтому условие устойчивости линейной системы можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где an = 0), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости. Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости системы) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).

Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отклонениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.  Функциональная теория изменения – М.: Изд-во МГУ, 1994.

2.  Система координат действия и общая теория систем действия: культура, личность и место социальных систем – М.: Изд-во МГУ, 1994.

3.  Урсул  России к устойчивому развитию. Ноосферная стратегия. – М.: Издательский дом «Ноосфера», 1998.

4.  , , Макаренко комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981.

5.  Иващенко регулирование. – М.: ВШ, 1973.