Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком модуля
Определение. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется число
Для любых действительных чисел a, b справедливы соотношения:
|
|
|
|
|
|
,
,
,
, 
Рассмотрим основные равносильные преобразования, используемые для решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения с модулем
Сумма корней уравнения
равна А) – 4 B) 4 C) –3 D) 3 E) 2
Сумма корней уравнения
равна А) 4 B) –5 C) –4 D) 5 E) 3
Сумма корней уравнения
равна А) 0 B) 15 C) 5 D) –5 E) –15
Найдите сумму решений уравнения
А) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
5. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения 
А) 1 B) –2 C) 3 D) –6 E) 8
6. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения 
принадлежит промежутку
А) 
B) 
C) 
D) 
E) 
равна А) 
B) 
C) 
D) 
E) 1
принадлежат промежутку А) 
B) 
C) 
D) 
E) 
А) –480 B) –32 C) –24 D) –20 E) 480
Найдите произведение корней уравнения
Найдите сумму корней уравнения 
12. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения 
Найдите наименьший корень уравнения 
Найдите все значения параметра а, при которых графики функций 
и 
имеют одну общую точку А) 
B) 
C) 
D) 
E) 
, при которых графики функций 
и 
имеют только две общие точки А) 
B) 
C) 
D) 
E) 
имеет три различных корня? А) 4 B) 5 C) 8 D) 6 E) 9
Ответы «Уравнения с модулем»
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
C | C | E | A | B | B | C | E | B | – 16 | 6 | 10 | 12 | – 16 | C | С | Е |
Неравенства с модулем
Найдите количество целочисленных решений неравенства
А) 5 B) 6 C) 10 D) 11 E) бесконечно много
Найдите сумму целых отрицательных решений неравенства
А) –17 B) –15 C) –20 D) –18 E) –21
Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства
? А) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) бесконечно много
Сумма целых решений неравенства
равна А) 10 B) 8 C) 9 D) 15 E) 14
Решение неравенства
имеет вид А) 
B) 
C) 
D) 
E) 
заполняют на числовой оси промежуток, длина которого равна А) 1 B) 2 C) 0,5 D) 0,75 E)
А) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) бесконечно много
Число целых решений неравенства
равно А) 2 B) 3 C) 5 D) 0 E) 1
Количество целых решений неравенства
на промежутке 
равно А) 6 B) 7 C) 3 D) 4 E) 5
Количество целых решений неравенства
на промежутке 
равно А) 6 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Найдите сумму целых решений неравенства
Решите неравенство 
А)
B)
C)
D) 
E) 
А) 
B)
C) 
D) 
E) 
Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций 
и 
меньше, чем 1,25. Найдите наибольшее целое неположительное значение параметра а, при котором система неравенств 
не имеет решений. Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором система неравенств 
не имеет решений. Ответы «Неравенства с модулем»
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
D | E | A | C | C | A | B | D | E | D | 15 | А | В | 12 |
| – 4 | – 4 |
Комментарии к задачам.
15. Предложим аналитическое решение этой задачи. Преобразуем первую функцию 
. 
, 
Графики должны иметь только одну общую точку: 
или 
; 
или 
.
16. Решим задачу графически. Рассмотрим график функции 
. Это парабола с вершиной в точке 
, следовательно, график функции имеет вид, изображенный на чертеже (при 
). Графиком функции является прямая, параллельная оси абсцисс. Из чертежа видно, что линии будут пересекаться в двух точках при выполнении условия 
. При 
точек пересечения нет.
9. Данное неравенство равносильно системе 
.
14. Решим первое неравенство системы: 
. Решение второго неравенства системы являются полуинтервалы 
. Т. к. первое неравенство строгое, а второе – нестрогое, система не имеет решений, если точки 
и 
совпадают.
15. Решением первого неравенства является 
, решение второго 
. Система не имеет решения, если точки а и –4 совпадают.
