Система n линейных уравнений с n неизвестными

Система n линейных уравнений с n неизвестными.

*

Определение. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы.

Определение. Определитель матрицы А называется определителем системы (главным определителем системы).

=

Получим определители путём замены соответствующего столбца в определителе на столбец свободных членов:

;…;;…;

=

Теорема Крамера. Если определитель системы * отличен от нуля, то система имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

, , … , .

Доказательство:

+

 

+ + …+ + + …. + = =

. . .

. . .

Т. о. , .

Если , то , , … , .

Замечание.

Если и , то система неопределённая.

Если , но существует хотя бы один , то система несовместная.

Пример:

; ; ; .

; ;

Однородная система.

- решение системы однородная система всегда совместна. Это решение называется тривиальным или нулевым.

По теореме Крамера: если определитель однородной системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение и этим решением будет тривиальное решение.

Если определитель однородной системы равен нулю, то система неопределённая помимо тривиального решения имеет и ненулевое решение.

Т. о. если , то у однородной системы нет ненулевого решения;

если , то у однородной системы есть ненулевое решение.

Примеры:

Имеет ли система ненулевое решение?

1. система имеет ненулевое решение.

2. система не имеет ненулевых решений.

Метод Гаусса.

Метод Крамера подходит только для систем, у которых число уравнений равно числу неизвестных, при этом метод Крамера трудоёмкий (для систем из n уравнений с n неизвестными нужно вычислить (n +1) определитель n -ого порядка). Поэтому на практике чаще пользуются методом Гаусса.

Определение. Две системы уравнений с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают, т. е. либо они обе несовместны, либо всякое решение одной из них является решением другой (число уравнений безразлично).

Определение. К элементарным преобразованиям системы относят следующие преобразования:

-  перестановку уравнений системы;

-  умножение любого уравнения системы на неравное нулю число;

-  прибавление к одному из уравнений системы другого уравнения, умноженного на неравное нулю число.

Теорема. Всякое элементарное преобразование переводит данную систему в эквивалентную ей.

Теорема. Любую систему линейных уравнений можно посредством некоторого числа элементарных преобразований привести к ступенчатому (треугольному) виду.

Доказательство:

– система m уравнений с n неизвестными.

Пусть (если , то найдём уравнение, в котором первый коэффициент отличен от нуля, например, , и поменяем местами первое и i-ое уравнения).

Исключим из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого первое уравнение умножим на и прибавим ко второму уравнению; первое уравнение умножим на и прибавим к третьему уравнению; и т. д.; первое уравнение умножим на и прибавим к m-ому уравнению. В результате получим систему:

i>1

Пусть (иначе поменяем местами уравнения).

Исключим из всех уравнений системы, начиная со третьего. Для этого второе уравнение умножим на и прибавим к третьему уравнению; и т. д.; второе уравнение умножим на и прибавим к m-ому уравнению. В результате получим систему:

И т. д.

В конечном итоге получим систему:

; , , …, .

Говорят, что такая система имеет ступенчатый вид.

Неизвестные, которыми начинается каждое из r уравнений, называются главными; остальные неизвестные – свободными.

Система совместна тогда и только тогда, когда после приведения её к ступенчатому виду все , где (или ).

Система определена тогда и только тогда, когда после приведения её к ступенчатому виду число главных неизвестных равно числу всех неизвестных ().

Примеры:

1. 

2.  При система несовместна.

3.  Система неопределённая.