Занятие 3. Дифференциальные уравнения
1. Общие понятия и определения дифференциальных уравнений.
2. Дифференциальные уравнения 1 порядка.
3. Дифференциальные уравнения второго порядка.
4. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Она имеет множество связей с разными науками. Огромное применение теория дифференциальных уравнений нашла и в медицине.
Дифференциальным уравнением называют выражение, связывающее искомую функцию 
, ее аргумент 
, а также производные или дифференциалы этой функции. В общем виде дифференциальное уравнение имеет вид:
Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной или дифференциала искомой функции, входящей в это уравнение.
Решением дифференциального уравнения называется такая функция 
, которая, будучи подставленной в это уравнение, обращает его в верное тождество.
Решить дифференциальное уравнение – значит, найти множество функций 
, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.
Решение, полученное из общего, путем задания конкретного числового значения постоянной С, называется частным решением дифференциального уравнения. Для нахождения частного решения необходимы так называемые начальные условия, т. е. какое-либо значение и соответствующее ему значение .
Рассмотрим некоторые виды дифференциальных уравнений, имеющих наибольшее практическое значение для решения задач биологии, медицины и физики.
1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Уравнение вида
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Для решения такого уравнения следует:
1) заменить 
на 
:
;
2) умножить полученное равенство на 
;
3) провести разделение переменных:
;
4) проинтегрировать обе части полученного равенства:
5) выразить, если это возможно, функцию .
2. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Дифференциальные уравнения вида
могут быть решены последовательным интегрированием:
1) после первого интегрирования, порядок производной снизится до первого:
2) после второго интегрирования, получается общее решение уравнения:
Следует отметить, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Вообще, число произвольных постоянных в общем решении совпадает с порядком дифференциального уравнения.
3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
где 
и 
- действительные числа.
Для того чтобы решить такое уравнение, необходимо:
1) составить так называемое характеристическое уравнение, сделав следующие замены:
2) найти корни полученного квадратного уравнения:
;
3) подставить корни квадратного уравнения в соответствующую формулу общего решения дифференциального уравнения.
В зависимости от вида квадратного характеристического уравнения выделяют три случая:
1. Квадратное характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня 
и 
. В этом случае решением дифференциального уравнения является функция:
2. Квадратное характеристическое уравнение имеет два равных между собой действительных корня 
. В этом случае решением дифференциального уравнения является функция:
3. Квадратное характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня 
. В этом случае решением дифференциального уравнения является функция:
Примечание: квадратное характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня в том случае, если его дискриминант имеет отрицательное значение.
Комплексные числа. Комплексным числом называется число вида 
, где 
и 
– действительные числа, 
– так называемая мнимая единица. Основным свойством мнимой единицы является следующее:
Число называется действительной частью (
) комплексного числа, число называется мнимой частью (
) комплексного числа.
Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Комплексно сопряженными называются два числа:
и 
.
Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
,
где 
– это модуль комплексного числа, а 
– аргумент комплексного числа.
Извлечение корней из комплексных чисел:
.
Решение многих научных и технических задач приводит к интегрированию дифференциальных уравнений. В этих задачах требуется установить зависимость между переменными величинами некоторого физического, химического или другого процесса, найти уравнение линии или поверхности и т. п.
При решении таких задач можно руководствоваться следующим.
1. Необходимо сначала составить дифференциальное уравнение из условия задачи.
2. Определить тип полученного уравнения и выбрать метод решения.
3. Найти общее решение уравнения.
4. Получить частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям.
5. В случае необходимости вычислить значения вспомогательных параметров (коэффициент пропорциональности и др.).
6. Если это требуется, найти численные значения искомых величин.
